Savoir isoler une variable dans une égalité ou une inégalité

I. Qu’est-ce qu’isoler une variable ?

Isoler une variable, c’est transformer une égalité ou une inégalité pour que la variable que l’on cherche soit seule d’un côté du signe.

Cela revient à "exprimer cette variable" en fonction des autres.

II. Méthode générale

On applique les mêmes opérations des deux côtés pour éliminer progressivement tout ce qui entoure la variable à isoler.

⚠️ En cas d’inégalité, si on multiplie ou divise par un nombre négatif, on inverse le sens de l’inégalité.

III. Exemples mathématiques

1. Égalité avec deux variables

$3x + 2y = 12$
Isoler $y$ :

$2y = 12 - 3x$
$y = \dfrac{12 - 3x}{2}$

2. Inégalité avec deux variables

$5x - 2y \leq 10$
Isoler $y$ :

$-2y \leq 10 - 5x$
$y \geq \dfrac{5x - 10}{2}$ (on divise par $-2$, on inverse l'inégalité)

IV. Exemples issus des autres disciplines

1. Physique : loi de la vitesse

$v = \dfrac{d}{t}$
Isoler $t$ (temps) :

$t = \dfrac{d}{v}$

2. Économie : calcul du prix TTC

$P_{TTC} = P_{HT} \times (1 + \dfrac{TVA}{100})$
Isoler $P_{HT}$ :

$P_{HT} = \dfrac{P_{TTC}}{1 + \dfrac{TVA}{100}}$

3. Chimie : loi de la concentration

$C = \dfrac{n}{V}$
Isoler $n$ (quantité de matière) :

$n = C \times V$

4. Géométrie : périmètre d’un rectangle

$P = 2L + 2\ell$
Isoler $L$ :

$2L = P - 2\ell$
$L = \dfrac{P - 2\ell}{2}$

V. Application à une inégalité réelle

Contexte : physique — freinage
$d \leq \dfrac{v^2}{2a}$
Isoler $v$ :

1. Multiplier par $2a$ : $2ad \leq v^2$

2. Racine carrée : $v \geq \sqrt{2ad}$
   (on n'inverse pas le sens car on applique une fonction croissante)

VI. Conseils pratiques

• Utiliser des couleurs ou du surlignage pour repérer la variable à isoler.

• Si la variable est au dénominateur, penser à multiplier de chaque côté avant toute autre opération.

• Vérifier le sens de l’inégalité après chaque manipulation.