Appliquer une formule numériquement

I. Qu'est-ce qu'une application numérique ?

L'application numérique d'une formule consiste à remplacer les variables de la formule par leurs valeurs numériques et à effectuer les calculs nécessaires.

Exemple de formule mathématique :

Si la formule est $A = l \times h$, où :

• $l$ est la longueur (par exemple 5 cm),

• $h$ est la hauteur (par exemple 3 cm),
  alors on remplace les variables par leurs valeurs numériques :
  $A = 5 \times 3 = 15$ cm².

II. Méthode d'application numérique d'une formule

1. Identifier la formule : connaître la formule à utiliser et les variables qu’elle implique.

2. Substituer les valeurs numériques : remplacer chaque variable par sa valeur donnée dans l’énoncé du problème.

3. Effectuer les calculs : appliquer les opérations nécessaires pour obtenir le résultat numérique final.

III. Exemples mathématiques

1. Surface d’un rectangle

Formule : $A = l \times h$
Si $l = 6$ cm et $h = 4$ cm, on calcule :
$A = 6 \times 4 = 24$ cm²

2. Pythagore : théorème de Pythagore

Formule : $a^2 + b^2 = c^2$
Si $a = 3$ cm et $b = 4$ cm, on calcule $c$ :
$3^2 + 4^2 = c^2$
$9 + 16 = c^2$
$25 = c^2$
$c = \sqrt{25} = 5$ cm

IV. Exemples issus des autres disciplines

1. Physique : loi de la vitesse (vitesse constante)

Formule : $v = \dfrac{d}{t}$
Si $d = 100$ m et $t = 20$ s, on calcule :
$v = \dfrac{100}{20} = 5$ m/s

2. Économie : calcul du prix TTC

Formule : $P_{TTC} = P_{HT} \times (1 + \dfrac{TVA}{100})$
Si $P_{HT} = 200$ €, et la TVA est de 20 %, on calcule :
$P_{TTC} = 200 \times (1 + \dfrac{20}{100})$
$P_{TTC} = 200 \times 1,20 = 240$ €

3. Chimie : concentration molaire

Formule : $C = \dfrac{n}{V}$
Si $n = 0,5$ mol et $V = 2$ L, on calcule :
$C = \dfrac{0,5}{2} = 0,25$ mol/L

V. Application d’une formule dans un contexte complexe

Problème économique : calcul d’un salaire brut à partir du salaire net

Supposons qu’une personne ait un salaire net de $2500$ € et que la cotisation sociale représente 23 % du salaire brut.
Formule :
$S_{brut} = \dfrac{S_{net}}{1 - \dfrac{T_{cotisation}}{100}}$
Avec :
$S_{net} = 2500$ €, $T_{cotisation} = 23$ %

Application numérique :
$S_{brut} = \dfrac{2500}{1 - \dfrac{23}{100}} = \dfrac{2500}{0,77} \approx 3247,40$ €

Le salaire brut est donc d'environ 3247,40 €.

VI. Conseils pratiques

• Vérifier les unités : toujours vérifier que les unités des valeurs numériques sont cohérentes.

• Respecter les priorités des opérations : dans une formule comportant plusieurs opérations (addition, multiplication, etc.), suivre les règles de priorité des opérations (PEMDAS).

• Utiliser une calculatrice pour les calculs plus complexes ou les puissances.

VII. Explication de l'acronyme PEMDAS

PEMDAS est un acronyme qui représente l'ordre des opérations à suivre pour résoudre une expression mathématique avec plusieurs opérations. Chaque lettre de PEMDAS correspond à une étape à respecter :

• P : Parentheses (Parenthèses)

• E : Exponents (Exposants)

• MD : Multiplication and Division (Multiplication et Division, de gauche à droite)

• AS : Addition and Subtraction (Addition et Soustraction, de gauche à droite)

Signification détaillée :

1. Parenthèses (P) : Résoudre d'abord les opérations à l'intérieur des parenthèses.

2. Exponents (E) : Ensuite, on résout les puissances (exposants).

3. Multiplication and Division (MD) : On effectue ensuite toutes les multiplications et divisions, de gauche à droite.

4. Addition and Subtraction (AS) : Enfin, on effectue les additions et soustractions, également de gauche à droite.

L'ordre MD et AS indique que multiplication/division et addition/soustraction se font dans l'ordre dans lequel elles apparaissent, de gauche à droite.

Exemple :

Résoudre l'expression suivante :
$3 + 6 \times (5 + 4)^2 \div 3 - 7$

1. Parenthèses : $5 + 4 = 9$
   L'expression devient : $3 + 6 \times 9^2 \div 3 - 7$

2. Exposants : $9^2 = 81$
   L'expression devient : $3 + 6 \times 81 \div 3 - 7$

3. Multiplication et Division (de gauche à droite) :
   $6 \times 81 = 486$
   $486 \div 3 = 162$
   L'expression devient : $3 + 162 - 7$

4. Addition et Soustraction (de gauche à droite) :
   $3 + 162 = 165$
   $165 - 7 = 158$

Le résultat final est 158.