Résoudre une équation du type x² = a

I. Équation $x^2=a$ avec $a\lt 0$

Exemple 1 : Soit à résoudre l'équation $x^2=-3$.

On sait qu'un carré ne peut pas être négatif, donc cette équation n'admet pas de solution. On dit que son ensemble solution est vide.

Si j'appelle $\mathcal S$ son ensemble solution, on écrit que $\mathcal S=\emptyset$ avec $\emptyset$ un symbole qui signifie le vide.

II. Équation $x^2=a$ avec $a\geq 0$

Exemple 2 : Soit à résoudre l'équation $x^2=4$.

Quels sont les nombres $x$ dont le carré est égal à $4$ ? On sait que $2^2=4$ mais aussi que $(-2)^2=4$. Donc a priori, nous trouvons deux solutions à cette équation, solutions qui seraient les nombres $-2$ et $2$.

Comment rédiger la recherche de solution sans erreur ?

L'équation $x^2=4$ peut s'écrire $x^2-4=0$ en retranchant $4$ aux deux membres.

Mais : $x^2-4$ est la différence de deux carrés et est donc du type $a^2-b^2$ dont on connait une factorisation.

$x^2-4=(x-2)(x+2)$

Revenons à l'équation proposée.

$\begin{aligned}x^2 &= 4 && {\scriptsize \text{on retranche } 4 \text{ aux deux membres}} \\x^2 - 4 &= 0 && {\scriptsize \text{je reconnais une identité remarquable}} \\&&& {\scriptsize \text{et je factorise}} \\(x-2)(x+2) &= 0 && {\scriptsize \text{j'obtiens un produit de facteurs nul}}\end{aligned}$

Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul soit $x-2=0$ ou $x+2=0$

On obtient $x=+2$ ou $x=-2$

Conclusion : l'équation $x^2=4$ admet pour solution les nombres $-2$ et $+2$.

On écrit que $\mathcal S=\{-2\;; +2\}$ et cela se lit : l'ensemble solution $\mathcal S$ est égal à l'ensemble des deux nombres $-2$ et $+2$.

Exemple 3 : Soit à résoudre l'équation $x^2=17$

$x^2=17$ équivaut à dire $x^2-17=0$ équivaut à dire $(x-\sqrt{17})(x+\sqrt{17})=0$ car on sait que $\left(\sqrt{17}\right)^2=17$ .

Ce produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul soit : $x-\sqrt{17}=0$ ou $x+\sqrt{17}=0$ ce qui donne pour solutions : $x=\sqrt{17}$ ou $x=-\sqrt{17}$

et $\mathcal S=\{-\sqrt{17}\;;\sqrt{17}\}$

Exemple 4 : Soit à résoudre l'équation $2x^2=34$

Divisons par $2$ les deux membres de l'égalité. On obtient : $x^2=17$, équation que l'on a su résoudre dans l'exemple 3.