Résoudre graphiquement une équation, une inéquation

Enjeu : On va voir ici comment résoudre graphiquement et algébriquement des équations et des inéquations du type $f(x)=k$ ou $f(x)\lt k$ ...

I. Résolution graphique

Regardons comment résoudre graphiquement des équations et des inéquations du type $f(x) \lt k$ ou $f(x) \lt g(x)$. Cela permettra ensuite, quand on en sera à la résolution algébrique de ces questions, de vérifier que les solutions trouvées sont cohérentes avec le graphique obtenu sur la calculatrice ou sur un ordinateur.

1. Équations du type $f(x) = k$ et inéquation du type $f(x) \lt k$

Prenons, par exemple, la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 3x + 2$ et déterminons graphiquement les solutions de l'équation $f(x) = 3$. Pour cela, on représente la fonction $f$ et on trace la droite horizontale passant par le point de coordonnées $(0;3)$ (qui a donc pour équation $y = 3$).

On détermine ensuite, s'ils existent, les points d'intersection entre la courbe et la droite et enfin on lit leurs abscisses respectives.

Sur l'exemple, les abscisses respectives des points A et B sont environ -1,2 et 4,2. L'équation $f(x) = 3$ a donc pour solution -1,2 et 4,2.

Si maintenant on s'intéresse à résoudre l'inéquation $f(x) < 3$, on cherche les abscisses des points de la courbe situés strictement sous la droite. Il s'agit, par conséquent, des abscisses comprises entre celles de C et D.

La solution de l'inéquation $f(x) < 3$ est donc environ $]-1,2; 4,2[$.

On aurait pu également s'intéresser à la solution de l'inéquation $f(x) \geq 3$. Elle est constituée des réels n'appartenant pas à l'intervalle précédent, c'est-à-dire
$]- \infty ; -1,2] \cup [4,2; + \infty [$.

Il faut faire attention aux bornes des intervalles : doit-on les inclure ou non dans l'ensemble solution ? Cela dépend si l'inégalité est stricte (< ou >) ou pas ($\leq$ ou $\geq$).

2. Équations du type $f(x) = g(x)$ et inéquations du type $f(x) \lt g(x)$

On va reprendre le même principe que dans la partie précédente mais au lieu de représenter une fonction et une droite, on va utiliser la représentation graphique de deux fonctions. On va ensuite s'intéresser aux éventuels points d'intersections des deux courbes.

Les abscisses des points d'intersection des deux courbes sont environ $-2,8$, $-0,2$ et $2,4$. Graphiquement, les solutions de l'équation $f(x) = g(x)$ sont donc environ $-2,8$, $-0,2$ et $2,4$.

On peut également, avec ce graphique, déterminer graphiquement les solutions de l'inéquation $f(x) < g(x)$ : il s'agit des abscisses des points de la courbe représentant $f$ situés sous la courbe représentant $g$.

La solution de cette inéquation est donc graphiquement $]-2,8\,; -0,2[ \cup ]2,4\,; +\infty[$ (ce sont évidemment des valeurs approchées).