Déterminer graphiquement le signe d'une fonction, les variations d'une fonction

I. Déterminer graphiquement le signe d’une fonction

Pour déterminer graphiquement le signe d’une fonction, on doit analyser l’emplacement de la courbe de la fonction par rapport à l’axe des abscisses (l’axe $x$). Voici les étapes à suivre :

1. Tracer la courbe de la fonction :
   On commence par tracer le graphe de la fonction, généralement à l’aide d’un logiciel de calcul ou d'un papier millimétré. Il est essentiel que la courbe soit correctement représentée en fonction des valeurs de la fonction pour chaque point sur l'axe des $x$.

2. Identifier les intersections avec l’axe des abscisses :
   Les points où la courbe coupe l’axe des abscisses sont les solutions de l’équation $f(x) = 0$. Ces points correspondent à des valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction change de signe.

3. Analyser les intervalles :
   Une fois les points d’intersection identifiés, on divise l’axe des $x$ en intervalles délimités par ces points. Ensuite, on analyse le signe de la fonction dans chaque intervalle.

   • Si la courbe est au-dessus de l'axe des $x$, la fonction est positive dans cet intervalle.

   • Si la courbe est en dessous de l'axe des $x$, la fonction est négative dans cet intervalle.

Exemple :

A la lecture de la courbe, on peut conjecturer que :

$\checkmark$ $f(x)=0$ pour $x=1$ et pour $x=3$

$\checkmark$ $f(x)\gt 0$ pour $x\in ]-\infty\,; \,1[\cup ]3\,;\,+\infty[$

$\checkmark$ $f(x)\lt 0$ pour $x\in ]1\,;\,3[$

II. Déterminer graphiquement le tableau de variations d’une fonction

Le tableau de variations permet de savoir où la fonction est croissante ou décroissante, ainsi que ses points d’extremum (maximum et minimum).

1. Identifier les points d'extremum :
   Les points où la courbe change de "sens".

2. Analyser les variations de la fonction :

   • Croissance : Si la courbe monte, la fonction est croissante dans cet intervalle.

   • Décroissance : Si la courbe descend, la fonction est décroissante dans cet intervalle.

3. Compléter le tableau :
   Une fois que l’on connaît les points d’extremum et les intervalles de croissance ou décroissance, on peut remplir un tableau indiquant :

   • Les intervalles de croissance ou décroissance.

   • Les valeurs de la fonction aux points d'extremum (maximum et minimum).

   • Les signes de la dérivée dans chaque intervalle.

Exemple :

Soit la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

• Tracer la courbe permet de voir que la courbe coupe l'axe des abscisses aux points $x = 1$ et $x = 3$.

• Le tableau de variations sera alors :