Résoudre des équations dans les nombres complexes

On cherche à résoudre des équations simples dans $\mathbb{C}$.

I. Équation du premier degré

On résout : $z+a=b$ d'inconnue $z$ comme on le faisait dans les réels.

Méthode : On soustrait $a$ aux deux membres de l'égalité et on obtient :

$z=b-a$

Exemple

Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation d'inconnue $z$ : $z+3\text i=5$ :

$z=5-3\text i$ et l'ensemble solution est réduit à $S=\{5-3\text i\}$

II. Équation du type $z^2=a$ avec $a\in \mathbb R$.

On cherche les solutions de l'équation $z^2=a$ d'inconnue $z$ complexe.

Cas 1 : $a>0$

$z=\pm \sqrt{a}$

Cas 2 : $a<0$

On peut écrire : $z²=\text i²\,a$ ou encore $z²-\text i²\,a=0$

On factorise : $(z-\text i\,\sqrt a)(z+\text i\,\sqrt a)=0$

Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul.

$z=\pm \text i\sqrt{|a|}$

Exemple

Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation d'inconnue $z$ : $z^2=-16$ :

$z=\pm 4\text i$ et l'ensemble solution s'écrit $S=\{-4\text i~,~4\text i\}$.

III. Exemple en physique

En mécanique ou en électricité, on peut modéliser des oscillations par :

$z^2=-\omega^2$

Les solutions sont : $z=\pm \text i\omega$

Cela correspond à un mouvement oscillatoire (sinus ou cosinus).

Les nombres complexes permettent donc de résoudre des équations liées aux vibrations.