Résolution d'équation ou d'inéquation du 1er degré, tableau de signes

I. Équation du premier degré

1. Définition

Une équation du premier degré est une équation de la forme : $ax + b = 0$ où $a \ne 0$ et $a$, $b$ sont des nombres réels.

2. Méthode de résolution

On cherche à isoler $x$ :

• Étape 1 : on laisse dans un membre que ce qui contient les $x$

• Étape 2 : on divise par le coefficient de $x$.

Exemple :
Résoudre $5x - 3 = 12$
$\Rightarrow 5x = 15$
$\Rightarrow x = \dfrac{15}{5} = 3$

II. Inéquation du premier degré

1. Définition

Une inéquation du premier degré est une inégalité de la forme :
$ax + b \lt 0$, $ax + b \gt 0$, $ax + b \leq 0$ ou $ax + b \geq 0$

2. Méthode de résolution

Identique à une équation, mais attention :

Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, on inverse le sens de l’inégalité.

Exemple 1 :
Résoudre $3x - 4 \gt 5$
$\Rightarrow 3x \gt 9$
$\Rightarrow x \gt 3$

Exemple 2 :
Résoudre $-2x + 1 \leq 5$
$\Rightarrow -2x \leq 4$
$\Rightarrow x \geq -2$ (car on divise par $-2$)

III. Signe d’une expression du premier degré

1. Objectif

Déterminer quand une expression comme $ax + b$ est positive, nulle, ou négative.

2. Méthode

1. On résout l’équation $ax + b = 0$

2. On établit un tableau de signe

   

La droite est coupée au point $x = -\dfrac{b}{a}$.

Si $a \gt 0$ : $ax + b \lt 0$ à gauche de la racine, positif à droite.

Si $a \lt 0$ : $ax + b \gt 0$ à gauche de la racine, négatif à droite.

On peut résumer les deux cas $a \gt 0 \text{ et } a \lt 0 \text{ dans le tableau suivant : }$

Exemple :
Déterminer le signe de $2x - 6$

1. $2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$

2. Signe :

• Pour $x \lt 3$, $2x - 6 \lt 0$

• Pour $x = 3$, $2x - 6 = 0$

• Pour $x \gt 3$, $2x - 6 \gt 0$

IV. Application : résolution d’une inéquation produit

Résoudre : $(x + 1)(5-x) \lt 0$

Étudions le signe de chacun des facteurs :

Signe de $(x + 1)$ : $(x + 1)$ est positif pour $x \gt -1$.

Signe de $(5 - x)$ : $(5 - x)$ est positif pour $x \lt 5$.

Dressons le tableau de signes en y reportant les signes trouvés :

Conclusion : $(x + 1)(5-x) \lt 0$ équivaut à dire $x\in ]-\infty\,;\,-1[\cup ]5\,;\,+\infty[$.