Équation cartésienne d'une droite

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Apprends à définir une droite par un point et un vecteur directeur, et à reconnaître son équation cartésienne. Tu verras comment utiliser la colinéarité pour vérifier l’appartenance à une droite et trouver un vecteur directeur. Mots-clés : vecteur directeur, droite, équation cartésienne, colinéarité, géométrie analytique, repérage plan.

I. Vecteur directeur d’une droite

Définition

Un vecteur directeur d’une droite (d)(d) est un vecteur non nul dont la direction est celle de (d)(d).

Remarques

\circ\quad Attention : le sens n’est pas forcément le même ! Ce qui compte, c’est la direction.

\circ\quad Deux vecteurs directeurs d’une même droite sont colinéaires.

II. Comment définir une droite ?

Une droite peut être définie par :

Un point appartenant à la droite.

Un vecteur directeur de la droite.

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Vecteur directeur d’une droite

AB\overrightarrow{AB} est un vecteur directeur de (d)(d).

u\overrightarrow{u} est un vecteur directeur de (d)(d).

Tout multiple non nul de u\overrightarrow{u}, soit kuk \overrightarrow{u} avec kR{0}k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, est aussi un vecteur directeur de (d)(d).

Ainsi, u\overrightarrow{u} et AB\overrightarrow{AB} sont colinéaires.

Propriété

Soit MM un point et (d)(d) une droite de vecteur directeur u\overrightarrow{u} passant par un point AA.

M(d)AMM \in (d) \quad \Leftrightarrow \quad \overrightarrow{AM} et u\overrightarrow{u} sont colinéaires.

III. Équation cartésienne d’une droite

Propriété 1

Toute droite a une équation cartésienne de la forme : ax+by+c=0ax+by+c=0 avec aa et bb non nuls tous les deux à la fois.

Le vecteur u(b;a)\overrightarrow{u}(-b ; a) est un vecteur directeur de la droite.

Propriété 2 : Réciproque

Soient aa, bb, cc trois nombres tels que aa et bb ne soient pas nuls tous les deux à la fois.

L’ensemble des points M(x,y)M(x, y) tel que : ax+by+c=0ax + by + c = 0 est une droite.