Rappels sur la notion de variable aléatoire

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I. Expérience aléatoire et probabilité

Définition

Une expérience aléatoire est une expérience ayant plusieurs issues possibles (ces issues sont également appelées "éventualités") et dont on ne peut pas prévoir à l'avance laquelle de ces issues sera réalisée.
Chaque issue est un événement dit élémentaire.

L'univers des possibles de l'expérience, noté $\Omega$, est l'ensemble de tous les résultats possibles $e_i$ d'une expérience aléatoire : $\Omega = \{e_1, e_2, e_3, \dots, e_n\}$.

Loi de probabilité : définition

On définit alors une loi de probabilité sur $\Omega$ en associant une probabilité $p_i = p(e_i)$
à chacune des $n$ issues de $\Omega$, et telle que :

${\boxed{0 \leq p_i \leq 1 \text{ et } p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1}}$.

À retenir : la loi de probabilité est associée à l'expérience choisie ; on peut donc définir plusieurs lois de probabilité sur un même univers.

 Définition : Une loi est dite équirépartie (ou équiprobable) lorsque toutes les issues ont la même probabilité d’être obtenues.

Evénement : définition

Un événement est une partie de l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.

Définition :
La probabilité d’un événement $E$, notée $P(E)$, est la somme des probabilités des issues qui réalisent $E$.

Propriétés :

$\circ\quad$La probabilité d’un événement est toujours comprise entre $0$ et $1$ : $0 \leq P(E) \leq 1$.

$\circ\quad$Si $\Omega$ est l’ensemble des issues, alors la probabilité de l’événement certain est égale à $1$ : $P(\Omega) = 1$.

$\circ\quad$La probabilité de l’événement impossible est égale à $0$ : $P(\varnothing) = 0$.

II. Variable aléatoire

Définition :
Soit $\Omega$ l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. Le nombre d’issues de $\Omega$ est fini.
Définir une variable aléatoire sur $\Omega$, c’est associer à chaque issue de $\Omega$ un nombre réel.

On peut donc définir une variable aléatoire comme une fonction :
$X : \Omega \to \mathbb{R}$.

Définition :
Soit $X$ une variable aléatoire définie sur $\Omega$ :

$\circ\quad$ L’événement « $X$ prend la valeur $x$ » est l’ensemble des issues de $\Omega$ auxquelles on associe le réel $x$, noté : $P(X = x)$.

$\circ\quad$L’événement « $X$ prend des valeurs supérieures ou égales à $x$ » est l’ensemble des issues de $\Omega$ auxquelles on associe un réel supérieur ou égal à $x$, noté :
$P(X \geq x)$.

$\circ\quad$ L’événement « $X$ prend des valeurs inférieures ou égales à $x$ » est l’ensemble des issues de $\Omega$ auxquelles on associe un réel inférieur ou égal à $x$, noté : $P(X \leq x)$.

III. Loi de probabilité d'une variable aléatoire

Définition :
Définir la loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$, c’est associer à chaque valeur $x_i$ prise par $X$ la probabilité $p_i = P(X = x_i)$ de l’événement $X = x_i$.

La loi de probabilité de $X$ peut être représentée sous forme de tableau :

IV. Un exemple

Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher : 3 bleues (B), 2 rouges (R), et 1 jaune (J).
On définit un jeu de la façon suivante : le joueur tire une boule.

$\circ\quad$ Si la boule est bleue, il perd 1 point.

$\circ\quad$ Si la boule est rouge, il gagne 1 point.

$\circ\quad$ Si la boule est jaune, il gagne 3 points.

On a $\Omega = \{B, R, J\}$

$p(B) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ ; $p(R) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ ; $p(J) = \dfrac{1}{6}$

Soit $X$ la variable qui, à chaque issue, c'est-à-dire à chaque élément de $\Omega$, associe le nombre de points du joueur.
La variable $X$ ainsi définie est une variable aléatoire sur $\Omega$.

$X$ peut prendre 3 valeurs : -1, 1 et 3.
La probabilité que le joueur perde 1 point est $\dfrac{1}{2}$ et se note $p(X=-1) = \dfrac{1}{2}$.
La probabilité que le joueur gagne 1 point est $\dfrac{1}{3}$ et se note $p(X=1) = \dfrac{1}{3}$.
La probabilité que le joueur gagne 3 points est $\dfrac{1}{6}$ et se note $p(X=3) = \dfrac{1}{6}$.

Dans cet exemple la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ peut se présenter ainsi :

On peut calculer par exemple la probabilité des événements suivants :

$\circ\quad$"Le joueur gagne au plus 1 point" : cet événement s'écrit $X \leq 1$,
et on a $\small p(X \leq 1) = p(X=-1) + p(X=1)= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$

$\circ\quad$"Le joueur gagne au moins 1 point" : cet événement s'écrit $X \geq 1$,
et on a $\small p(X \geq 1) = p(X=1) + p(X=3)= \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}$