Propriétés du module et des arguments d’un nombre complexe

Les propriétés du module et des arguments d’un nombre complexe permettent de simplifier de nombreux calculs dans $\text{ℂ}$.

Le plan orienté est muni d’un repère orthonormé direct $\left(\text{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

I) Propriétés du module

Pour tous nombres complexes z et $z^{\prime }$ :

$z=\left(-z\right)=\left(\overline{z}\right)$

$z{z}^{\prime }=\left(z\right)\left(z^{\prime }\right)$

$\frac{1}{z}=\frac{1}{\left(z\right)}\left(z\ne 0\right)$

$\frac{z}{z^{\prime }}=\frac{\left(z\right)}{\left(z^{\prime }\right)}$ \left(z^{\prime }\ne 0\right)$$

À noter

L’ensemble $\text{U}=\left({\text{e}}^{\text{i}\text{θ}},\text{θ}\in \text{ℝ}\right)$ est donc stable par produit et par inverse, c’est-à-dire que, pour tout $\left(z;z^{\prime }\right)\in {\text{U}}^2$, on a $z{z}^{\prime }\in \text{U}$ et $\frac{1}{z}\in \text{U}$.

$z+z^{\prime }\le \left(z\right)+\left(z^{\prime }\right)$ (inégalité triangulaire)

$z^n={\left(z\right)}^n$

$z¯={\left(z\right)}^2$

Soient $\text{A}\left(z_{\text{A}}\right)$, $\text{B}\left(z_{\text{B}}\right)$ et $\text{C}\left(z_{\text{C}}\right)$ trois points différents du plan complexe.

$\overrightarrow{\text{AB}}=\left(z_{\text{B}}-z_{\text{A}}\right)$

$z_{\text{C}}-z_{\text{A}}\left(z_{\text{B}}-z_{\text{A}}\right)$

II) Propriétés des arguments

Pour tous nombres complexes z et $z^{\prime }$ non nuls,

on a les égalités suivantes à $2\text{π}$ près :

$\arg \left(-z\right)=\text{π}+\arg \left(z\right)$

$z¯=-\arg \left(z\right)$

 pour tout entier relatif n, $\arg \left(z^n\right)=n\arg \left(z\right)$

Soient $\text{A}\left(z_{\text{A}}\right)$, $\text{B}\left(z_{\text{B}}\right)$ et $\text{C}\left(z_{\text{C}}\right)$ trois points différents du plan complexe.

$u\to ;\overrightarrow{\text{AB}}=\arg \left(z_{\text{B}}-z_{\text{A}}\right)$

$\text{AB}\to ;\overrightarrow{\text{AC}}=\arg \left(\frac{z_{\text{C}}-z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}-z_{\text{A}}}\right)$

Conseils

a. Déterminez la forme trigonométrique de b.

Utilisez ensuite les propriétés du module et de l’argument pour déterminer la notation exponentielle du produit c = ab.

b. Utilisez les formes algébriques de a et b pour calculer c.

c. Utilisez l’unicité de la forme algébrique d’un nombre complexe.

À noter

Pour $\text{θ}$ et ${\text{θ}}^{\prime }$ deux nombres réels : ${\text{e}}^{\text{i}\text{θ}}\times {\text{e}}^{\text{i}{\text{θ}}^{\prime }}={\text{e}}^{\text{i}\left(\text{θ}+{\text{θ}}^{\prime }\right)}$.