Image et affixe d’un nombre complexe

Les nombres complexes peuvent être représentés graphiquement dans le plan orienté muni d’un repère orthonormé direct. À tout nombre complexe, on peut associer un unique point du plan.

Le plan orienté est muni d’un repère orthonormé direct $\left(\text{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$, c’est-à-dire orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

I) Image d’un nombre complexe et affixe d’un point

Soit un nombre complexe $z=a+\text{i}b$ avec $\left(a;b\right)\in {\text{ℝ}}^2$.

Le point M de coordonnées (a ; b) dans le repère $\left(\text{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ est appelé l’image du nombre complexe z dans le plan.

Soit M un point de coordonnées (a ; b) dans le repère $\left(\text{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

Le nombre complexe $z=a+\text{i}b$ est appelé l’affixe du point M.

On peut résumer ce qui précède par :

M est l’image de z ⇔ z est l’affixe de M

On peut donc noter sans ambiguïté M(z) le point M d’affixe z.

Cette équivalence permet de considérer le plan orienté muni d’un repère orthonormé direct comme une « représentation » de l’ensemble des nombres complexes. On le nomme aussi parfois plan complexe.

À noter

L’axe des abscisses est appelé l’axe réel (tous ses points ont une affixe réelle) et l’axe des ordonnées est appelé l’axe imaginaire pur (tous ses points ont une affixe imaginaire pure).

II) Affixe d’un vecteur

Soit $\overrightarrow{w}$ un vecteur de coordonnées (a ; b) dans le repère $\left(\text{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

Le nombre complexe $z=a+\text{i}b$ est appelé l’affixe du vecteur $\overrightarrow{w}$, noté $\overrightarrow{w}\left(z\right)$.

En particulier, si M a pour affixe z, alors $\overrightarrow{\text{OM}}$ a aussi pour affixe z.

Les vecteurs $\overrightarrow{w}$ et $\overrightarrow{\text{OM}}$ sont les images vectorielles de z.

Soient $\overrightarrow{w_1}\left(z_1\right)$ et $\overrightarrow{w_2}\left(z_2\right)$ deux vecteurs.

Le vecteur $\overrightarrow{w_1}+\overrightarrow{w_2}$ a pour affixe $z_1+z_2$.

Soient ${\text{M}}_1\left(z_1\right)$ et ${\text{M}}_2\left(z_2\right)$ deux points.

M1M2→ a pour affixe $z_2-z_1$.

 Le milieu I du segment [M₁M₂] a pour affixe à $z_I=\frac{z_1+z_2}{2}$.

Conseils

a. Si le point M a pour affixe z, son symétrique M′ par rapport à l’axe des réels a pour affixe $\overline{z}$.

Solution

a. Si le point M₁ a pour affixe $z_1=3-3\text{i}$, son symétrique M′₁ par rapport à l’axe des réels a pour affixe $\overline{z_1}=3+3i$.

b. L’affixe de $\overrightarrow{w}$ est celui de $\overrightarrow{{\text{OM}}_1}$, c’est-à-dire $z_1=3-3i$.

c. Le milieu I de [M₁M₂] a pour affixe $z_{\text{I}}=\frac{z_1+z_2}{2}=\frac{3-3\text{i}+(-5+\text{i})}{2}=-1-i$.

2) Déterminer des images et des affixes

a. Placer les images A, B, C, D des nombres complexes :

b. Déterminer l’affixe $z_{\overrightarrow{\text{BD}}}$ du vecteur $\overrightarrow{\text{BD}}$ et l’affixe $z_{\text{I}}$ du milieu I de $\left(\text{AC}\right)$.

Conseils

Pour les deux questions, utilisez les définitions et propriétés du cours.