Les nombres complexes ont été définis par leur forme algébrique. Mais tout nombre complexe non nul admet une autre forme, dite forme trigonométrique, qui permet de simplifier certains calculs dans .
Le plan orienté est muni d’un repère orthonormé direct .
I) Module et argument d’un nombre complexe non nul
Soit avec un nombre complexe non nul et M son image dans le plan complexe.
Le module du nombre complexe z, noté , est le réel .
Un argument du nombre complexe z est une mesure, en radians, de l’angle orienté de vecteurs . On le note et à près.
À noter
Si θ est un argument de z, alors θ + 2kπ (k entier relatif) est aussi un argument de z.
Cas particuliers :
est imaginaire pur.
II) Forme trigonométrique et notation exponentielle
Tout nombre complexe z non nul peut s’écrire sous la forme :
où et θ est un argument de z. C’est la forme trigonométrique de z.
Si où r et θ sont deux réels avec r > 0, alors et θ est un argument de z.
En notant , alors s’écrit :
C’est la notation exponentielle de z.
À noter
est l’ensemble des nombres complexes de module 1.
Pour le point du plan complexe : M est sur le cercle trigonométrique.
Méthodes
1) Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique
Déterminer la forme trigonométrique et la notation exponentielle de chacun des nombres complexes :
a.
b.
Conseils
Pour trouver la forme trigonométrique de z = a + ib où a et b sont des réels :
Étape 1 On calcule (z ≠ 0 donc r ≠ 0).
Étape 2 On factorise l’expression par r : on a .
Étape 3 On détermine un réel θ tel que et .
Solution
a. Étape 1
Étape 2 En factorisant l’expression de z par son module r = 4, on obtient :
Étape 3 On cherche un réel θ tel que et .
Ainsi .
b. De même, on trouve :
À noter
z a pour argument , mais aussi par exemple.
2) Passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique
Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme algébrique.
a.
b.
Conseils
Si avec r > 0, alors la forme algébrique de z est avec et .
Solution
a.
b.