Les nombres sont également appelés coefficients binomiaux et se lisent « parmi ».
I. Propriétés
Soient et deux entiers naturels tels que , alors :
Formule du coefficient binomial : .
Symétrie : .
Valeurs particulières :
,
,
.
Relation de Pascal :
Pour tous entiers naturels et tels que , on a :
.
Cette relation donne naissance au triangle de Pascal. On peut l’interpréter de manière combinatoire : pour choisir éléments parmi , on distingue les sous-ensembles contenant un élément spécifique (disons le premier) et ceux ne le contenant pas.
II. Le triangle de Pascal
Triangle de Pascal : (issu de Wikipedia)
Présenté également souvent ainsi :
À l'intersection de la ligne et de la colonne , on lit l'entier .
On commence par écrire les « 1 » dans la 1ère colonne et sur la diagonale, puis on utilise la relation de Pascal, selon le schéma :
Propriété : Soit un entier naturel. Alors :
Démonstration :
Par dénombrement, on compte le nombre de parties d’un ensemble à éléments.
Il y a parties à 0 élément, parties à 1 élément, ...
En tout, il y a parties d’un ensemble à éléments (chaque élément peut être présent ou absent).
Ainsi, en sommant les pour allant de à , on obtient la relation : .