Propriétés du coefficient binomial

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Les nombres (nk)\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} sont également appelés coefficients binomiaux et se lisent « kk parmi nn ».

I. Propriétés


Soient nn et kk deux entiers naturels tels que knk \leq n, alors :

\circ\quad Formule du coefficient binomial : (nk)=n!k!(nk)!\displaystyle\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! (n - k)!}.

\circ\quadSymétrie : (nk)=(nnk)\displaystyle\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}.

\circ\quad Valeurs particulières :
(n0)=1\displaystyle\binom{n}{0} = 1,
(n1)=n\displaystyle\binom{n}{1} = n,
(n2)=n(n1)2\displaystyle\binom{n}{2} = \dfrac{n(n - 1)}{2}.

\circ\quad Relation de Pascal :
Pour tous entiers naturels nn et kk tels que 1kn11 \leq k \leq n - 1, on a :
(nk)=(n1k1)+(n1k)\displaystyle\binom{n}{k} = \binom{n - 1}{k - 1} + \binom{n - 1}{k}.

Cette relation donne naissance au triangle de Pascal. On peut l’interpréter de manière combinatoire : pour choisir kk éléments parmi nn, on distingue les sous-ensembles contenant un élément spécifique (disons le premier) et ceux ne le contenant pas.

II. Le triangle de Pascal



Triangle de Pascal : (issu de Wikipedia)

picture-in-textPrésenté également souvent ainsi :

picture-in-text

À l'intersection de la ligne nn et de la colonne kk, on lit l'entier (nk)\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}.

On commence par écrire les « 1 » dans la 1ère colonne et sur la diagonale, puis on utilise la relation de Pascal, selon le schéma :

(nk)=(n1k1)+(n1k)\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n-1\\k\end{pmatrix}

Propriété : Soit nn un entier naturel. Alors : k=0n(nk)=2n\displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n

Démonstration :
Par dénombrement, on compte le nombre de parties d’un ensemble à nn éléments.

\circ\quad Il y a (n0)\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix} parties à 0 élément, (n1)\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix} parties à 1 élément, ...

\circ\quad En tout, il y a 2n2^n parties d’un ensemble à nn éléments (chaque élément peut être présent ou absent).

Ainsi, en sommant les (nk)\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} pour kk allant de 00 à nn, on obtient la relation : k=0n(nk)=2n\displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n.