Définition : Soient n et k deux entiers naturels tels que 0≤k≤n, et E un ensemble fini de cardinal n. On appelle combinaison de k éléments de E toute partie de E ayant k éléments.
Le nombre de combinaisons de k éléments de E est noté (nk) ou Cnk .
Remarque : Les nombres (nk) sont également appelés coefficients binomiaux et se lisent « k parmi n ».
Exemple :
Soit A={1;2;3}.
∘ Les parties de A sont : ∅, {1}, {2}, {3}, {1;2}, {1;3}, {2;3}, {1;2;3}.
∘ Il y a 3 parties à 1 élément, (31)=3
∘ Mais il y a autant de parties à 1 élément que de parties à 2 éléments (les complémentaires) dans cet ensemble, donc : (32)=3.
Propriété :
Soient n et k deux entiers naturels tels que k≤n, alors :
Cnk=(nk)=k!(n−k)!n!.
∘Symétrie : (nk)=(nn−k).
∘Exemples particuliers :
∘ si k=0 , (n0)=1: Il n’y a qu’une seule façon de ne rien choisir : le sous-ensemble vide ∅.
∘ si k=1 , (n1)=n : Choisir un élément parmi n donne n sous-ensembles à 1 élément.
∘ si k=2 , (n2)=2n(n−1) : Pour choisir 2 éléments sans ordre parmi n, on a 2n(n−1) possibilités.
∘ (n+1)!=n!×(n+1) est une relation intéressante (simplification de fractions etc.) dont on peut donner un exemple 7!=6!×7