Les démonstrations du cours "Forme générale de l’équation d’un plan de l’espace"

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Ce fichier regroupe les démonstrations du cours Équation cartésienne d'un plan de l'espace

Démonstration 1 : Soit à démontrer la propriété suivante.

Un vecteur est dit normal à un plan si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

La propriété directe découle de la définition. Nous n'allons donc prouver que la réciproque.
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires d'un plan $\mathscr{P}$, $\vec{w}$ un vecteur de $\mathscr{P}$ et $\vec{n}$ un vecteur orthogonal à $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
Il existe donc deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$.
Ainsi $\vec{w}.\vec{n}=a\vec{u}.\vec{n}+b\vec{v}.\vec{n} = 0$.
Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à tous les vecteurs du plan $\mathscr{P}$. Il lui est par conséquent orthogonal.

Démonstration 2 : soit à démontrer le théorème suivant

Théorème : On considère un vecteur $\vec{n}(a,b,c)$ normal à un plan $\mathscr{P}$.
Il existe alors un réel $d$ tel qu'une équation du plan $\mathscr{P}$ soit $ax+by+cz+d=0$.
Cette équation est appelée équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$.

Soit $A_0\left(x_0,y_0,z_0\right)$ un point du plan $\mathscr{P}$.
Pour tout point $M(x,y,z)$, les vecteurs $\vec{n}$ et $\overrightarrow{A_0M}$ sont orthogonaux.
Par conséquent $\vec{n}.\overrightarrow{A_0M}=0$.
Or $\overrightarrow{A_0M}\left(x-x_0,y-y_0,z-z_0\right)$.
Ainsi :
$a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0$

$\Leftrightarrow ax+by+cz -\left(ax_0+by_0+cz_0\right)=0$
En posant $d=-\left(ax_0+by_0+cz_0\right)$, on obtient l'équation $ax+by+cz+d=0$.

Démonstration 3 : soit à démontrer la propriété réciproque

Propriété réciproque : On considère trois réels $a,b,c$ non tous nuls et un réel quelconque $d$.
L'ensemble $\mathscr{E}$ des points $M(x,y,z)$ tels que $ax+by+cz+d=0$ est un plan dont un vecteur normal est $\vec{n}(a,b,c)$.

On peut supposer que $a\neq 0$. Par conséquent les coordonnées du point $A\left(-\dfrac{d}{a};0;0\right)$ vérifient l'équation $ax+by+cz+d=0$.
On considère le vecteur non nul $\vec{n}(a,b,c)$.
Soit $M(x,y,z)$ un point de $\mathscr{E}$.
On a alors :

$\overrightarrow{AM}.\vec{n} = a\left(x+\dfrac{d}{a}\right)+by+cz$

${\phantom{ \overrightarrow{AM}.\vec{n}}}= ax+by+cz+d$.

Puisque $M\in \mathscr{E}$, on a donc $\overrightarrow{AM}.\vec{n} =0$.
Ainsi $\mathscr{E}$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{n}$ soient orthogonaux.
Il s'agit donc du plan passant par $A$ dont un vecteur normal est $\vec{n}$.