Le produit scalaire de deux vecteurs peut s’exprimer à partir de leurs normes et de leur angle. L’orthogonalité de deux vecteurs, prouvée à l’aide d’un calcul de produit scalaire, est associée à la perpendicularité de deux droites.
I) Autre expression du produit scalaire
Soit et deux vecteurs du plan.
Si l’un des vecteurs ou est le vecteur nul, alors .
Si aucun des vecteurs et n’est le vecteur nul, alors on considère trois points A, B et C tels que et. Avec α une mesure de l’angle on a :
Remarques :
• Si l’angle est aigu, alors et cos α > 0, donc .
• Si l’angle est obtus, alors et cos α < 0, donc .
• Si est un angle droit, alors cos α = 0 et .
II) Vecteurs orthogonaux
1) Définition
Soit et deux vecteurs du plan.
et sont orthogonaux si et seulement si :
Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs du plan.
Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs et sont orthogonaux.
Si est un vecteur directeur de la droite 𝒟, alors tout vecteur non nul orthogonal à est appelé vecteur normal à 𝒟.
2) Critère d’orthogonalité
Si les vecteurs et ont pour coordonnées (x ; y) et (x′ ; y′) dans une même base orthonormée du plan, alors et sont orthogonaux si et seulement si :
xx′ + yy′ = 0
Méthode
1) Montrer que deux droites sont perpendiculaires
ABCD est un carré de côté c. Les points E et F sont définis par et . Montrer que les droites (AF) et (BE) sont perpendiculaires.
Conseil
Utilisez la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs et et les écrire en fonction des vecteurs , et , puis calculez leur produit scalaire.
Solution
et .
Donc et, en développant :
.
et car est orthogonal à et à .
et , d’où .
et sont orthogonaux, donc (AF) et (BE) sont perpendiculaires.
2) Calculer la mesure d’un angle
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A(2 ; 4), B(–2 ; 2) et C(6 ; –2). Calculer le produit scalaire et en déduire la mesure α en degrés de l’angle à 0,1 degré près.
Conseil
Calculez les coordonnées des vecteurs et . Utilisez une expression du produit scalaire pour calculer les distances AB et AC, puis cos α.
Solution
et , donc .
On sait que où α est la mesure de l’angle .
Donc .
Or et .
Donc , soit et α = 97,1° à 0,1 degré près.