Transformer des expressions dépendant de vecteurs

On peut à l’aide des propriétés du produit scalaire transformer des expressions dépendant de vecteurs. La formule d’Al-Kashi est une conséquence de l’une de ces transformations.

I. Développement de ||u→+v→||2

Pour tous vecteurs u→ et v→ du plan :

||u→+v→||2=||u→||2+2u→⋅v→+||v→||2

En remplaçant v→ par –v→, on obtient :

||u→–v→||2=||u→||2–2u→⋅v→+||v→||2.

On peut exprimer u→⋅v→ à l’aide des normes :

u→⋅v→=12(||u→+v→||2–||u→||2–||v→||2) et u→⋅v→=12(||u→||2+||v→||2–||u→–v→||2).

II. Formule d’Al-Kashi

À noter

Si α=π2, le triangle ABC est rectangle en A et on retrouve le théorème de Pythagore. Ainsi le théorème d’Al-Kashi est appelé « théorème de Pythagore généralisé ».

Soit ABC un triangle et α la mesure de l’angle BAC^. On a :

BC2=AB2+AC2–2AB×AC×cosα

Pour la démonstration de cette formule, voir.

La formule d’Al-Kashi peut également s’écrire :

AC² = BA² + BC² – 2 BA × BC × cos β, avec β mesure de ABC^ ;

AB² = CA² + CB² – 2 CA × CB × cos γ, avec γ mesure de ACB^.

III. Transformation de MA→⋅MB→

A et B sont deux points du plan, I est le milieu du segment [AB].

Pour tout point M du plan :

MA→⋅MB→=MI2–IA2

Ou encore : MA→⋅MB→=MI2–14AB2

Pour la démonstration de ces formules, voir.

Méthode

1)  « Résoudre » un triangle à l’aide de la formule d’Al-Kashi

Soit ABC un triangle tel que AB = 9, AC = 4 et BAC^ a pour mesure 60°.

Calculer BC et déterminer une mesure approchée des angles ABC^ et BCA^.

Conseil

Utilisez la formule d’Al-Kashi pour calculer BC, puis cosβ, avecβ mesure de l’angle ABC^, et déterminez une valeur approchée deβ à l’aide de la calculatrice. Rappelez-vous que la somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180°.

Solution

D’après la formule d’Al-Kashi, BC² = AB² + AC² – 2 AB × AC × cos (60°).

D’où BC2=81+16–2×9×4×12=61, soit BC  =  61.

Si β est la mesure de l’angle ABC^, alors AC² = BA² + BC² – 2 BA × BC × cos β. Donc cosβ=BA2+BC2–AC22 BA×BC, soit cosβ=1261861=761.

Avec la calculatrice, ABC^ a pour mesure environ 26,3° et, la somme des mesures des angles étant égale à 180°, ACB^ a pour mesure environ 93,7°.

2)  Détermination d’un ensemble de points

A et B sont deux points tels que AB = 6. I est le milieu du segment [AB].

On appelle ℰ l’ensemble des points M du plan tels que MA→⋅MB→=27.

a. Soit C le symétrique de I par rapport à A. Montrer que C appartient à ℰ.

b. Déterminer l’ensemble ℰ.

Conseil

Utilisez l’égalité MA→⋅MB→=MI2–14AB2 et déduisez-en que ℰ est un cercle de centre I.

Solution

a. Les vecteurs CA→ et CB→ sont colinéaires de même sens, donc CA→⋅CB→=CA×CB. CA = 3 et CB = 9, donc CA→⋅CB→=3×9=27, donc C ∈ ℰ.

b. MA→⋅MB→=MI2–14AB2=MI2–9, donc :

M ∈ ℰ ⇔ MI² – 9 = 27 ⇔ MI² = 36 ⇔ MI = 6.

ℰ est donc le cercle de centre I et de rayon 6 (passant par C).