Produit scalaire : définitions

I. Produit scalaire de deux vecteurs

Définition

On appelle produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ par $\overrightarrow{v}$ le réel $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ (se lit "u scalaire v") tel que :

$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}|| \times \cos(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v})$.

Remarque : La norme d’un vecteur correspond à sa longueur.

On a donc : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = ||\overrightarrow{AB}|| \times ||\overrightarrow{AC}|| \times \cos(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC})$.

Soit : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos \alpha$.

Exemple

Leur produit scalaire vaut :

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(BAC)$.

$= 2 \times 3 \times \cos 30^\circ$.

$= 2\times 3\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt 3$.

II. Cas de deux vecteurs colinéaires

Si $\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{AC}$, alors les vecteurs sont colinéaires.

Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même est appelé carré scalaire et est donné par :

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = ||\overrightarrow{AB}||^2$. (se lit "carré scalaire de $\overrightarrow{AB}$").

Remarque : pour un vecteur quelconque $\overrightarrow{u}$, on a : $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = ||\overrightarrow{u}||^2$

$1.$ Cas de deux vecteurs colinéaires de même sens

$2.$ Cas de deux vecteurs colinéaires de sens contraire