Probabilités conditionnelles et indépendance

Un événement A peut influencer, par sa réalisation ou sa non ­réalisation, un événement B. En même temps l’événement A peut n’avoir aucune influence sur B : ces deux événements sont alors indépendants.

I) Probabilités conditionnelles

On se place dans un univers Ω muni d’une probabilité P. Soit A un événement de probabilité non nulle.

Définition. La probabilité de l’événement B, sachant que A est réalisé est le nombre noté PA(B) défini par :

$P_{\text{A}}\left(\text{B}\right)=\frac{P(\text{A}\cap \text{B})}{P\left(\text{A}\right)}$

Formule des probabilités composées :

À noter

On voit qu’en général, P(A ∩ B) ≠ P(A) P(B).

P(A ∩ B) = PA(B)P(A)

L’application PA définie sur Ω par $P_{\text{A}}\left(\text{X}\right)=\frac{P(\text{A}\cap \text{X})}{P\left(\text{A}\right)}$ a toutes les propriétés d’une probabilité. En particulier :

PA(B ∪ C) = PA(B) + PA(C) – PA(B ∩ C) et $P_{\text{A}}\left(\overline{\text{B}}\right)=1–P_{\text{A}}\left(\text{B}\right)$.

II) Événements indépendants

Définition. Dire que deux événements A et B sont indépendants signifie que :

P(A ∩ B) = P(A) P(B)

Intuitivement, dire que A et B sont indépendants suggère que la réalisation de A n’influence pas celle de B, donc que PA(B) = P(B).

Mot clé

Ne pas confondre « événements indépendants », notion qui dépend de la probabilité choisie sur l’univers Ω, et « événements incompatibles » (A ∩ B = ∅) qui n’en dépend pas.

Dans la pratique, pour calculer P(A ∩ B), il y a deux méthodes :

• la formule des probabilités composées, qui se réduit à P(A ∩ B) = P(A) P(B) dans le cas où A et B sont indépendants ;

• la formule P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B).

Méthode

Calculer des probabilités conditionnelles avec un tableau

Dans un sac, il y a des pièces anciennes qui sont soit en or (O), soit en argent (A). Certaines proviennent du pays X, les autres du pays Y. On prélève une pièce au hasard.

a. Interpréter et compléter le tableau ci-contre.

b. Quelle est la probabilité que la pièce soit en or et du pays X ?

c. Montrer que la probabilité qu’elle soit en or sachant qu’elle provient du pays X est égale à $\frac{3}{7}$.

d. Les événements O et X sont-ils indépendants ?

e. Vérifier que le tableau ci-contre, comptant les pièces dans un autre sac, est cohérent. Ici, les événements O et X sont-ils indépendants ?

Conseil

a. 100 % des pièces proviennent des pays X et Y.

b. Calculez la probabilité d’une intersection.

c. Le mot-clé est « sachant ».

d. Utilisez la définition de la fiche.

e. Reprenez les raisonnements précédents. Vous aurez une surprise…

Solution

a. 45 % des pièces sont en or donc 55 % sont en argent. 56 % des pièces proviennent du pays X donc 44 % proviennent de Y.

23 % des pièces sont en argent du pays Y, or 0,55 – 0,23 = 0,32 donc 32 % des pièces sont en argent du pays X.

b. P(O ∩ X) = 0,24. 
c. $P_{\text{X}}\left(\text{O}\right)=\frac{P(\text{X}\cap \text{O})}{P\left(\text{X}\right)}=\frac{\mathrm{0,24}}{\mathrm{0,56}}=\frac{\text{3}}{\text{7}}$.

d. Comme PX(O) ≠ P(O), les événements O et X ne sont pas indépendants.

e. Ici $P(\text{X}\cap \text{O})=\frac{360}{1500}=\mathrm{0,24}$, $P\left(\text{O}\right)P\left(\text{X}\right)=\frac{675}{1500}=\frac{500}{1500}=\mathrm{0,24}$. Les deux événements sont ici indépendants !