Lorsque l’univers des possibles est divisé en une partition d’événements, on peut facilement calculer la probabilité d’un événement quelconque en considérant son intersection avec les éléments de la partition.

I) Préalable

On se place dans un univers Ω muni d’une probabilité P.

1) Partition de Ω

On considère des événements A1, A2, …, An non vides, deux à deux disjoints et dont la réunion est l’univers Ω tout entier.

On dit que ces événements forment une partition de Ω, ou qu’ils forment un système complet d’événements de Ω.

Exemple : Les saisons de naissance des élèves d’une classe la partagent en quatre groupes formant une partition de la classe.

2) Calculer des probabilités à l’aide d’un arbre

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Dans un arbre, les événements partant d’un nœud forment une partition. La somme des probabilités des branches de même origine est égale à 1.

Exemple : $P_{A} (X) + P_{A} (\bar{X}) = 1$ .

II) Formule des probabilités totales

Pour tout événement X et toute partition {A1, A2, A3} de Ω :

$P (X) = P (X \cap A_{1}) + P (X \cap A_{2}) + P (X \cap A_{3})$

Avec les probabilité conditionnelles :

$P (X) = P_{A_{1}} (X) P (A_{1}) + P_{A_{2}} (X) P (A_{2}) + P_{A_{3}} (X) P (A_{3})$

Souvent, on utilise la formule des probabilités totales dans le cas où la partition est {A ; $\bar{A}$ }, A étant non vide, ainsi :

À noter
Évidemment la formule s’étend pour 4, 5, 6… événements formant une partition de Ω.

$P (X) = P (X \cap A) + P (X \cap \bar{A}) = P_{A} (X) P (A) + P_{\bar{A}} (X) P (\bar{A})$

Exemples : blanc/noir ; pair/impair ; défectueux/non défectueux ; etc.

Méthode

Utiliser la formule des probabilités totales

• Dans une urne A, il y a 3 boules noires et 2 boules blanches.

• Dans une urne B, il y a 4 boules noires et 6 boules blanches.

On jette un dé non pipé. Si c’est le 1 ou le 6 qui sort, on choisit l’urne A, sinon on choisit l’urne B. On prélève alors une boule de l’urne choisie.

1. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?

2. Quelle est la probabilité que l’urne choisie soit l’urne A sachant que l’on a tiré une boule blanche ?

Conseil
1. On utilise un arbre de probabilité et la formule des probabilités totales. En effet, les deux événements (A : « on choisi l’urne A », B : « on choisi l’urne B ») forment une partition de l’univers ( $\bar{A} = B$ ).
2. Pensez à la formule des probabilités composées.

Solution

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1. Choisir l’urne A équivaut à tirer 1 ou 6, donc choisir B équivaut à tirer 2, 3, 4 ou 5.

Notons X l’événement : « la boule tirée est blanche ». On dessine l’arbre ci-contre.

$P (A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ donc $P (B) = P (\bar{A}) = 1 - P (A) = \frac{2}{3}$ .

De plus, les compositions des urnes font que :

$P_{A} (X) = \frac{2}{3 + 2} = \frac{2}{5}$ et $P_{\bar{A}} (X) = P_{B} (X) = \frac{6}{4 + 6} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ .

Donc, comme A et B forment un système complet d’événements, la formule des probabilités totales donne :

$P (X) = P_{A} (X) P (A) + P_{\bar{A}} (X) P (\bar{A})$ , soit $P (X) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} + \frac{3}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{15}$ .

2. On cherche PX(A) et on trouve $\frac{P (A \cap X)}{P (X)} = \frac{P_{A} (X) P (A)}{P (X)}$ .

Par conséquent $P_{X} (A) = \frac{\frac{2}{5} \times \frac{1}{3}}{\frac{8}{15}} = \frac{\frac{2}{15}}{\frac{8}{15}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ .

À noter
La valeur de PX(A) n’apparaît pas dans l’arbre !
Vérifiez que vous avez bien compris les points clés des fiches 30 à 32.