Lorsqu’on effectue deux expériences identiques et indépendantes l’une à la suite de l’autre, il est souvent utile d’utiliser un arbre de probabilité ou un tableau à double entrée et d’appliquer le principe multiplicatif.
I) Modélisation à l’aide d’un arbre pondéré
1) Expérience à deux épreuves indépendantes
Définition. On effectue la même expérience deux fois. On suppose que le résultat de la première expérience n’a aucune influence sur le résultat de la seconde. On dit alors que les deux expériences (ou épreuves) sont indépendantes.
2) Règles d’utilisation d’un arbre
Règle 1. La somme des probabilités issues d’un même nœud est égale à 1.
Mot clé
Cette règle est aussi appelée principe multiplicatif.
Règle 2. La probabilité d’un événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités portées par les branches de ce chemin.
Règle 3. La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à sa réalisation.
II) Exemple d’un dé cubique
On dispose d’un dé cubique comportant deux faces portant le nombre –1, une face comportant le zéro et trois faces comportant le nombre 1.
On lance le dé deux fois puis on effectue le produit des nombres portés par les deux faces. On représente chaque lancer, puis le résultat du produit en bas de l’arbre.
Soit A l’événement « obtenir, dans l’ordre, –1 puis 1 » et B l’événement « obtenir dans l’ordre 1 puis –1 ». Alors, P(A)= 13×12=16 et P(B)=12×13=16.
La probabilité d’obtenir un produit égal à –1 est égale à P(A∪B) c’est-à-dire P(A) + P(B) puisque les événements A et B sont évidemment incompatibles. On trouve P(A∪B)=16+16=13.
Méthode
Modéliser une expérience aléatoire à l’aide d’un tableau
On dispose d’un dé cubique comportant deux faces portant le nombre –1, une face comportant le zéro et trois faces comportant le nombre 1. On jette deux fois le dé. Soit A l’événement « obtenir, dans l’ordre, –1 puis 1 » et B l’événement « obtenir dans l’ordre 1 puis –1 ».
Calculer les probabilités suivantes à l’aide d’un tableau :
a. P(A)
b. P(B)
c. P(A ∪ B)
Conseils
Étape 1. Répertorier tous les cas possibles pour chaque lancer.
Étape 2.Placer en têtières du tableau les issues possibles pour chaque lancer et remplir les 36 cases du tableau avec les résultats des deux lancers.
Étape 3.Calculer les probabilités demandées sachant que tous les événements élémentaires sont équiprobables.
Solution
Étape 1. Les issues possibles pour un lancer sont : {–1 ; –1 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1}.
Étape 2.Grâce à un tableau, on répertorie tous les cas possibles.
Étape 3.Les événements élémentaires sont équiprobables. On calcule la probabilité d’un événement en comptant le nombre d’événements élémentaires qui le composent.
a. Les six cases du tableau réalisant l’événement A sont indiquées en rouge.
Donc P(A)= 636=16.
b. Les cases réalisant l’événement B sont en bleu et P(B)=636=16.
c. A et B sont incompatibles, donc P(A∪B)=P(A)+P(B)= 16+16=13. C’est la probabilité d’obtenir un produit égal à –1.