Primitives d'une fonction continue : définition

Les équations différentielles permettent de relier une fonction et ses dérivées, alors que la recherche de primitives est l’opération inverse de la dérivation.

I. Solution d’une équation différentielle

Définition
Une équation différentielle est une équation où l’inconnue est une fonction et où interviennent des dérivées de cette fonction.

Résoudre une équation différentielle, c’est trouver toutes les solutions de cette équation, c'est-à-dire toutes les fonctions qui vérifient cette égalité.

Exemple :
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3\text e^{2x}$. Justifier que $f$ vérifie l’égalité $y' = 2y$.

Justifier que $f$ vérifie l’égalité $y' = 2y$ revient à montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x) = 2f(x)$.

Soit $x \in \mathbb{R}$, $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
$f'(x) = 6\text e^{2x} = 2 \times 3\text e^{2x} = 2f(x)$

Donc $f$ est solution de cette équation différentielle.

À noter
La fonction exponentielle est l’unique solution $f$ de l’équation différentielle $y' = y$ qui vérifie $f(0) = 1$.

II. Primitive d'une fonction continue sur un intervalle

Définition Soit $f$ une fonction continue sur $I$.
Soit $F$ une fonction définie sur $I$. On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F' = f$.

Remarque : On dit alors que $F$ est une solution de l’équation différentielle $y' = f$ dont l’inconnue est la fonction $y$.

Exemples :
$\circ\quad f(x) = 3 ;\quad F(x) = 3x$ sur $\mathbb{R}$.
$\circ\quad f(x) = 2x ;\quad F(x) = x^2$ sur $\mathbb{R}$.
$\circ\quad f(x) = \dfrac{1}{x^2} ;\quad F(x) = -\dfrac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$.
$\circ\quad f(x) = \text e^x ;\quad F(x) = \text e^x$ sur $\mathbb{R}$.
$\circ\quad f(x) = x^2 + 4x - 1 ;\quad F(x) = \dfrac{x^3}{3} + 2x^2 - x$ sur $\mathbb{R}$.

Remarques :
$\circ\quad$ Si une fonction admet une primitive sur un intervalle, celle-ci n’est pas unique.
$\circ\quad$ La recherche d’une primitive est l’opération inverse de la dérivation, ce qui permet de traiter les cas usuels par lecture inverse du tableau des dérivées.

III. Existence de primitives

Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.