Propriétés des primitives

Existence et propriétés des primitives

Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

Théorème : Soit $f$ une fonction qui admet une primitive $F$ sur $I$. Alors $f$ admet $G$ pour primitive sur $I$ si et seulement s’il existe une constante réelle $k$ telle que, pour tout $x \in I$ : $G(x)=F(x)+kG(x) = F(x) + kG(x)=F(x)+k$

Exemple :
Déterminer l’ensemble des primitives sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \text e^x + 3$

Ainsi, les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $F$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$F(x) = \text e^x + 3x + k,\quad k \in \mathbb{R}$

Propriété :
Soit $f$ une fonction qui admet des primitives sur $I$. Soient $x_0 \in I$ et $y_0 \in \mathbb{R}$ deux réels. Il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0) = y_0$.

Exemple :
Déterminer la primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \text e^x + 3$ vérifiant $F(1) = 3$.

On a, d’après l’exemple précédent, pour tout réel $x$ :
$F(x) = \text e^x + 3x + k$

Ainsi :
$F(1) = \text e^1 + 3 + k$
$F(1) = 3 \iff \text e + 3 + k = 3 \iff k = -\text e$

D’où :
$F(x) = \text e^x + 3x - \text e$.

Remarque :
La condition $F(x_0) = y_0$ est appelée condition initiale, en référence à certaines situations rencontrées en physique.