Propriétés des primitives

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Dans cette leçon, tu approfondis la notion de primitive en découvrant qu’une fonction continue possède une infinité de primitives qui diffèrent entre elles d’une constante. Tu apprends aussi à déterminer la primitive unique qui vérifie une condition donnée, appelée condition initiale. Mots-clés : primitive, fonction continue, constante d'intégration, condition initiale, unicité.

Existence et propriétés des primitives

Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

Théorème : Soit ff une fonction qui admet une primitive FF sur II. Alors ff admet GG pour primitive sur II si et seulement s’il existe une constante réelle kk telle que, pour tout x∈Ix \in I : G(x)=F(x)+kG(x)=F(x)+kG(x)=F(x)+kG(x)=F(x)+kG(x) = F(x) + kG(x)=F(x)+k

Exemple :
Déterminer l’ensemble des primitives sur R\mathbb{R} de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :
f(x)=ex+3f(x) = \text e^x + 3

Ainsi, les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions FF définies sur R\mathbb{R} par :
F(x)=ex+3x+k,k∈RF(x) = \text e^x + 3x + k,\quad k \in \mathbb{R}

Propriété :
Soit ff une fonction qui admet des primitives sur II. Soient x0∈Ix_0 \in I et y0∈Ry_0 \in \mathbb{R} deux réels. Il existe une unique primitive FF de ff sur II telle que F(x0)=y0F(x_0) = y_0.

Exemple :
Déterminer la primitive de ff sur R\mathbb{R} de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :
f(x)=ex+3f(x) = \text e^x + 3 vérifiant F(1)=3F(1) = 3.

On a, d’après l’exemple précédent, pour tout réel xx :
F(x)=ex+3x+kF(x) = \text e^x + 3x + k

Ainsi :
F(1)=e1+3+kF(1) = \text e^1 + 3 + k
F(1)=3  ⟺  e+3+k=3  ⟺  k=−eF(1) = 3 \iff \text e + 3 + k = 3 \iff k = -\text e

D’où :
F(x)=ex+3x−eF(x) = \text e^x + 3x - \text e.

Remarque :
La condition F(x0)=y0F(x_0) = y_0 est appelée condition initiale, en référence à certaines situations rencontrées en physique.

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Primitives d'une fonction continue : définition
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Primitives des fonctions usuelles