Permutation d’un ensemble fini

I. Définition d'une permutation

Soit $A$ un ensemble fini non vide à $n$ éléments. Une permutation de $A$ est un $n$-uplet d’éléments distincts de $A$.

Remarque : Une permutation est un $n$-arrangement.

Exemple : Si $A = \lbrace 1 ; 2 ; 3 \rbrace$, les permutations de $A$ sont :
$\lbrace \lbrace 1 ; 2 ; 3 \rbrace ; \lbrace 1 ; 3 ; 2 \rbrace ; \lbrace 2 ; 1 ; 3 \rbrace ; \lbrace 2 ; 3 ; 1 \rbrace ; \lbrace 3 ; 1 ; 2 \rbrace ; \lbrace 3 ; 2 ; 1 \rbrace \rbrace$.

Propriété : Le nombre de permutations d’un ensemble fini non vide à $n$ éléments est : $n!$.

Exemple : Si $A = \lbrace 1 ; 2 ; 3 \rbrace$, on a bien $3! = 6$ permutations possibles.

Notation : l'ensemble des permutations d'un ensemble $A$ se note $\sigma(A)$

II. Nombre de permutations

Une permutation d’un ensemble de $n$ éléments est un réarrangement complet de ces $n$ éléments.

Le nombre de permutations de $n$ éléments (c’est-à-dire, le nombre de façons de les ordonner) est  : $n!$.

Remarque :

Les permutations correspondent au cas particulier des k-uplets où $k = n$.

Dans ce cas, la formule $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ devient $\dfrac{n!}{(n-n)!} = \dfrac{n!}{0!} = n!$.

On peut donc écrire : si $\text{card}(E)=n$ alors $\text{card}(\sigma (E))=n!$