k-uplet ou arrangement d’éléments distincts d’un ensemble

k-uplets d’éléments distincts d’un ensemble à $n$ éléments connu également sous le nom de k-arrangements

$1.1$ Définition

Soit un ensemble $E$ ayant $n$ éléments distincts.Un k-uplet (ou k-arrangement avec $k\neq 1$ ) est une suite ordonnée de $k$ éléments distincts choisis dans $E$.

$1.2.$ Nombre de k-uplets et arrangements

Définition de la factorielle $n!$

Définition : Soit $n$ un entier naturel non nul. On appelle factorielle de $n$ le nombre :
$n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$

Par convention, $0! = 1$.

Définition d'un arrangement : Soit A un ensemble fini non vide à $n$ éléments et $k$ un entier naturel inférieur ou égal à $n$ . Un arrangement de $k$ éléments de $A$ (ou k -arrangement) est un k -uplet d’éléments distincts de $A$ .

Comme l’ordre compte, pour construire un k-uplet de $A$, on choisit :

Le premier élément parmi les $n$ disponibles, le deuxième élément parmi les $(n-1)$ restants, etc., jusqu’au $k$-ième élément.

Le nombre total de k-uplets distincts est donc : $n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-k+1)$.

On le note parfois $A(n, k)$ou $P(n, k)$. En notation factorielle, cela s’écrit : $\dfrac{n!}{(n-k)!}$.

Exemples :

Si $A = \lbrace 1 ; 2 ; 3 ; 4 \rbrace$, alors $(1 ; 3 ; 4)$ et $(1 ; 4 ; 3)$ sont deux arrangements de trois éléments de $A$. Ce sont deux 3-arrangements de $A$.

Remarque : Un arrangement de $A$ peut être interprété comme un tirage avec ordre et sans remise des éléments de $A$.

Propriété : Soient $A$ un ensemble fini non vide à $n$ éléments, et $k$ un entier naturel tel que $k \leq n$.
Le nombre de $k$-arrangements de $A$ est égal à :
${\boxed{A_n^k = n \times (n - 1) \times \dots \times (n - k + 1) = \dfrac{n!}{(n - k)!}}}$

Exemple : On dispose de trois jetons et de cinq boîtes notées $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$. On doit ranger les jetons dans les boîtes, une boîte ne pouvant pas contenir deux jetons.

On dispose de cinq possibilités pour le premier jeton, de quatre possibilités pour le deuxième jeton, et de trois possibilités pour le troisième jeton.

Les rangements possibles sont les 3-uplets d’éléments deux à deux distincts de l’ensemble $T = \lbrace A, B, C, D, E \rbrace$. Leur nombre est : $5 \times 4 \times 3 = 60$.