Loi uniforme sur [a ; b]

Quand on considère une variable aléatoire donnant un nombre réel choisi au hasard entre $a$ et $b$, on est encore dans une situation d'équiprobabilité :
chaque issue a la même probabilité.

On choisit donc aussi comme densité de probabilité une fonction constante.

I. Définition

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a \lt b$.

On appelle loi uniforme sur l’intervalle $I = [a ; b]$ la loi de densité de probabilité $f$,
où $f$ est la fonction constante définie pour tout $x \in I$ par :

$f(x) = \dfrac{1}{b - a}$

Remarque :
La loi uniforme sur $[a ; b]$ peut être notée : $\mathcal{U}([a ; b])$

Cette définition est aussi une propriété, car on peut démontrer que $f$ vérifie bien les conditions d'une densité de probabilité (continue, positive et intégrale égale à 1).

Démonstration :
Sur $[a ; b]$, la fonction $f$ est continue, car c’est une fonction constante,
et elle est positive, car $b \gt a$ et $f(x) = \dfrac{1}{b - a} \gt 0$.

L’aire du domaine entre l’axe des abscisses et la courbe de $f$ sur $[a ; b]$ est celle d’un rectangle :

• de longueur $b - a$

• de hauteur $\dfrac{1}{b - a}$

Donc : $\text{Aire} = (b - a) \times \dfrac{1}{b - a} = 1$

Ainsi, $f$ est bien une densité de probabilité sur $[a ; b]$.

II. Propriété

Si la variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur $[a ; b]$, alors, pour tous réels $c$ et $d$ tels que $a \leq c \leq d \leq b$, on a :

$\mathbb{P}(c \leq X \leq d) = \dfrac{d - c}{b - a}$

Démonstration :

On peut le voir graphiquement :
l’aire du domaine compris entre les droites verticales d’équation $x = c$ et $x = d$ correspond à l’aire d’un rectangle :

$\checkmark$ de largeur $d - c$

$\checkmark$ et de hauteur $\dfrac{1}{b - a}$

Donc l’aire est : $\text{aire} = \text{longueur} \times \text{largeur} = \dfrac{1}{b - a} \times (d - c)$

On peut aussi le démontrer par le calcul intégral :

$\mathbb{P}(c \leq X \leq d) = \displaystyle \int_c^d f(x)\,\text{d}x$

$\mathbb{P}(c \leq X \leq d) = \displaystyle\int_c^d \dfrac{1}{b - a}\,\text{d}x$$\mathbb{P}(c \leq X \leq d) = \left[ \dfrac{x}{b - a} \right]_c^d = \dfrac{d}{b - a} - \dfrac{c}{b - a} = \dfrac{d - c}{b - a}$

III. Fonction de répartition

Si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur $[a ; b]$, alors la fonction de répartition de $X$ est la fonction $F$ définie, pour tout $x \in [a ; b]$, par : $F(x) = \dfrac{x - a}{b - a}$

IV. Espérance et variance

Propriété :
Soit $X \sim \mathcal{U}([a ; b])$. Alors :

$\mathbb{E}(X) = \dfrac{a + b}{2}$
$\text{Var}(X) = \dfrac{(b - a)^2}{12}$

Démonstration de l’espérance :

$\displaystyle \mathbb{E}(X) = \int_a^b x f(x),\text{d}x = \int_a^b \dfrac{x}{b - a},\text{d}x = \dfrac{1}{b - a} \int_a^b x,\text{d}x$

$= \dfrac{1}{b - a} \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_a^b = \dfrac{1}{b - a} \left( \dfrac{b^2}{2} - \dfrac{a^2}{2} \right)$

$= \dfrac{b^2 - a^2}{2(b - a)} = \dfrac{(b + a)(b - a)}{2(b - a)} = \dfrac{b + a}{2}$