Loi uniforme sur [0 ; 1]

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Quand on considère une variable aléatoire donnant un nombre réel choisi au hasard entre 0 et 1, on est dans une situation d'équiprobabilité : chaque issue a la même probabilité.

Dans ce cas, on choisit comme densité de probabilité une fonction constante.

I. Définition

On appelle loi uniforme sur $I = [0 ; 1]$ la loi de densité de probabilité $f$, où $f$ est la fonction constante définie par : $f(x) = 1$ pour tout $x \in [0 ; 1]$

Démonstration :
La fonction $f$ est bien une densité de probabilité sur $[0 ; 1]$ car :

$\checkmark$ $f$ est continue sur $[0 ; 1]$

$\checkmark$ $f$ est positive sur $[0 ; 1]$

$\checkmark$ et l’aire sous la courbe est : $\displaystyle \int_0^1 f(x)\,\text{d}x = \int_0^1 1\,\text{d}x = 1$

Cette aire correspond à un carré de côté 1, donc de surface 1 unité d’aire.

II. Propriété

Si la variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur $[0 ; 1]$, alors pour tous réels $c$ et $d$ tels que $0 \leq c \leq d \leq 1$, on a : $\mathbb{P}(c \leq X \leq d) = d - c$

Démonstration :
L’aire du domaine compris entre les droites verticales d’équation $x = c$ et $x = d$ correspond à l’aire d’un rectangle :

$\checkmark$ de largeur $d - c$

$\checkmark$ et de hauteur $1$ (car $f(x) = 1$)

Donc : $\mathbb{P}(c \leq X \leq d) = \text{aire} = 1 \times (d - c) = d - c$

III. Exemple

Énoncé :
Dans un cabinet médical, on a établi, après étude statistique, que le temps d’attente était complètement aléatoire et variait de façon uniforme jusqu’à une heure maximum.

Si l’on appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au temps d’attente (en heures), alors on peut dire que : $X \sim \mathcal{U}([0 ; 1])$

Solution :

La probabilité qu’un patient attende plus d’un quart d’heure est :

$\mathbb{P}(X \geq \dfrac{1}{4}) = 1 - \mathbb{P}(X \leq \dfrac{1}{4}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$

Un patient a donc 75 % de chance d’attendre plus d’un quart d’heure.