Espérance et variance des lois à densité

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I. Définitions

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi de densité $f$ sur un intervalle $I$.

L’espérance de $X$ est : $\displaystyle \mathbb{E}(X) = \int_I x f(x)\,\text{d}x$

La variance de $X$ est : $\displaystyle \text{Var}(X) = \int_I (x - \mathbb{E}(X))^2 f(x)\,\text{d}x$

Remarque :
La variance peut aussi se calculer à l’aide de la formule de Koenig-Huygens :

$\displaystyle \text{Var}(X) = \int_I x^2 f(x)\,\text{d}x - \left( \mathbb{E}(X) \right)^2$

II. Exemple

Si $X$ suit la loi de densité $f : x \mapsto 2x$ sur $[0 ; 1]$, alors :

$\displaystyle \mathbb{E}(X) = \int_0^1 x \times 2x\,\text{d}x$

$\phantom{\displaystyle \mathbb{E}(X) }= \int_0^1 2x^2\,\text{d}x$

$\phantom{\displaystyle \mathbb{E}(X) }= \left[ \dfrac{2x^3}{3} \right]_0^1$

$\phantom{\displaystyle \mathbb {E}(X) }= 2 \times \dfrac{1^3}{3} - 2 \times \dfrac{0^3}{3}$

$\phantom{\displaystyle \mathbb{E}(X) }= \dfrac{2}{3}$

Et donc : $\displaystyle \text{Var}(X) = \int_0^1 \left(x - \dfrac{2}{3} \right)^2 \times 2x\,\text{d}x$

On développe l'expression : $\left(x - \dfrac{2}{3} \right)^2 = x^2 - \dfrac{4}{3}x + \dfrac{4}{9}$

Donc :

$\displaystyle \text{Var}(X) = \int_0^1 \left(x^2 - \dfrac{4}{3}x + \dfrac{4}{9} \right) \times 2x\,\text{d}x$

$\phantom{\displaystyle \text{Var}(X)}= \displaystyle\int_0^1 \left(2x^3 - \dfrac{8}{3}x^2 + \dfrac{8}{9}x \right)\,\text{d}x$

Soit :

$\displaystyle \text{Var}(X) = \left[ \dfrac{x^4}{2} - \dfrac{8x^3}{9} + \dfrac{4x^2}{9} \right]_0^1$

On calcule : $\text{Var}(X) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{8}{9} + \dfrac{4}{9} - 0 = \dfrac{1}{18}$