Espérance et variance des lois à densité

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Dans cette leçon, tu vas apprendre à calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire continue à partir de sa densité. Grâce à des intégrales simples et à la formule de Koenig-Huygens, tu pourras analyser la moyenne et la dispersion d’une loi à densité. Mots-clés : espérance, variance, loi à densité, variable continue, intégrale, Koenig-Huygens.

👉 Des fiches d'exercices (non visibles actuellement sur l'application) existent, elles sont disponibles depuis le site internet https://www.digischool.fr/lycee

I. Définitions

Soit XX une variable aléatoire qui suit une loi de densité ff sur un intervalle II.

L’espérance de XX est : E(X)=∫Ixf(x) dx\displaystyle \mathbb{E}(X) = \int_I x f(x)\,\text{d}x

La variance de XX est : Var(X)=∫I(x−E(X))2f(x) dx\displaystyle \text{Var}(X) = \int_I (x - \mathbb{E}(X))^2 f(x)\,\text{d}x

Remarque :
La variance peut aussi se calculer à l’aide de la formule de Koenig-Huygens :

Var(X)=∫Ix2f(x) dx−(E(X))2\displaystyle \text{Var}(X) = \int_I x^2 f(x)\,\text{d}x - \left( \mathbb{E}(X) \right)^2

II. Exemple

Si XX suit la loi de densité f:x↦2xf : x \mapsto 2x sur [0;1][0 ; 1], alors :

E(X)=∫01x×2x dx\displaystyle \mathbb{E}(X) = \int_0^1 x \times 2x\,\text{d}x

E(X)=∫012x2 dx\phantom{\displaystyle \mathbb{E}(X) }= \int_0^1 2x^2\,\text{d}x

E(X)=[2x33]01\phantom{\displaystyle \mathbb{E}(X) }= \left[ \dfrac{2x^3}{3} \right]_0^1

E(X)=2×133−2×033\phantom{\displaystyle \mathbb {E}(X) }= 2 \times \dfrac{1^3}{3} - 2 \times \dfrac{0^3}{3}

E(X)=23\phantom{\displaystyle \mathbb{E}(X) }= \dfrac{2}{3}

Et donc : Var(X)=∫01(x−23)2×2x dx\displaystyle \text{Var}(X) = \int_0^1 \left(x - \dfrac{2}{3} \right)^2 \times 2x\,\text{d}x

On développe l'expression : (x−23)2=x2−43x+49\left(x - \dfrac{2}{3} \right)^2 = x^2 - \dfrac{4}{3}x + \dfrac{4}{9}

Donc :

Var(X)=∫01(x2−43x+49)×2x dx\displaystyle \text{Var}(X) = \int_0^1 \left(x^2 - \dfrac{4}{3}x + \dfrac{4}{9} \right) \times 2x\,\text{d}x

Var(X)=∫01(2x3−83x2+89x) dx\phantom{\displaystyle \text{Var}(X)}= \displaystyle\int_0^1 \left(2x^3 - \dfrac{8}{3}x^2 + \dfrac{8}{9}x \right)\,\text{d}x

Soit :

Var(X)=[x42−8x39+4x29]01\displaystyle \text{Var}(X) = \left[ \dfrac{x^4}{2} - \dfrac{8x^3}{9} + \dfrac{4x^2}{9} \right]_0^1

On calcule : Var(X)=12−89+49−0=118\text{Var}(X) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{8}{9} + \dfrac{4}{9} - 0 = \dfrac{1}{18}

Leçon précédente
Lois à densité : définition
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