Limites et opérations

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Il y a quatre formes indéterminées :
$+\infty - \infty$ ; $0 \times \infty$ ; $\dfrac{\infty}{0}$ ; $\dfrac{\infty}{0}$
Dans ces cas-là, les théorèmes sur les opérations ne permettent pas de conclure directement.

Exemples :

• $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( n^2 + \sqrt{n} \right)$
  $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$
  Donc par somme, on a :
  $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( n^2 + \sqrt{n} \right) = +\infty$

• $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( n^3 - 3n^2 + 5 \right)$
  $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^3 = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (-3n^2 + 5) = -\infty$
  Donc par somme, on a la forme indéterminée « $\infty - \infty$ »
  On met donc le terme de plus haut degré en facteur.
  $n^3 - 3n^2 + 5 = n^3 \left( 1 - \dfrac{3}{n} + \dfrac{5}{n^3} \right)$

Donc on a :
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^3 = +\infty$ ; $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{n}{n^3} = 0$ ; $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^3}{n^3} = 1$
Donc par somme et par produit :
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( n^3 - 3n^2 + 5 \right) = +\infty$

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{4n + 5}{n^2 + 6}$

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{n\left(4 + \dfrac 5 n\right)}{n^2 \left(1 + \dfrac{6}{n^2}\right)} = \dfrac{4 +\dfrac 5 n}{n \left(1 + \dfrac{6}{n^2}\right)}$

Le numérateur tend vers $4$.

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( 1 + \dfrac{6}{n^2} \right) = 1$ et par produit : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n \left( 1 + \dfrac{n^2}{6} \right) = +\infty$

Donc par quotient : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{4n + 5}{n^2 + 6} = 0$