Limite d'une suite

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I. Suite ayant pour limite un nombre réel

Définition :
Une suite $(u_n)$ a pour limite un réel $l$ quand $n$ tend vers $+\infty$ si les termes $u_n$ deviennent tous aussi proches de $l$ que l’on veut en prenant $n$ suffisamment grand. On dit que $(u_n)$ converge vers $l$ et on note : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = l$

Exemples :

Propriétés :
$\circ \quad$ $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$
$\circ \quad$ $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0$
$\circ \quad$ $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} = 0$
$\circ \quad$ Plus généralement, pour $k \in \mathbb{N}^*$ : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^k} = 0$

II. Suite ayant pour limite $+\infty$

Définition :

Une suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$, si les termes $u_n$ deviennent tous aussi grands que l’on veut en prenant $n$ suffisamment grand. On dit que $(u_n)$ diverge et on note : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

Exemple :

On observe que les termes successifs de $(u_n)$ sont de plus en plus grands. Donc on peut penser que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

Propriétés :
$\circ \quad$ $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n = +\infty$
$\circ \quad$ $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$
$\circ \quad$ $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$
$\circ \quad$ Plus généralement, pour $k \in \mathbb{N}^*$ :
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^k = +\infty$

III. Suite ayant pour limite $-\infty$

Définition :

Une suite $(u_n)$ a pour limite $-\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ si les termes $u_n$ deviennent tous aussi petits que l’on veut en prenant $n$ suffisamment grand.
On dit que $(u_n)$ diverge et on note : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$

Remarque : Petit ne signifie pas proche de 0 mais négatif et grand en valeur absolue.
Par exemple, $-1,000,000$ est petit.

Exemple :

On observe que les termes successifs de $(u_n)$ sont de plus en plus petits. Donc on peut penser que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

Remarque : Certaines suites n’ont pas de limite. Dans ce cas, on dit que la suite diverge.
Diverger signifie « ne pas converger ».

Exemple : Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = (-1)^n$.

Les termes ne deviennent ni de plus en plus grands ni de plus en plus petits, ni se rapprochent de plus en plus d’un réel. $u_n$ prend alternativement les valeurs $-1$ et $1$.