Limites et comparaison

Théorème de minoration : Si à partir d’un certain rang, $u_n \geq v_n$ et si $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$, alors :
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

Exemple :
$v_n = \left[ 2 + (-1)^n \right] n^2$
$(-1)^n \geq -1$
$2 + (-1)^n \geq 1$
$\left[ 2 + (-1)^n \right] n^2 \geq n^2$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$

Or $v_n \geq n^2$, donc d’après le théorème de minoration,
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$

Théorème de majoration : Si à partir d’un certain rang, $u_n \leq v_n$ et si $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$, alors :
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$

Théorème des gendarmes : Si à partir d’un certain rang, $v_n \leq u_n \leq w_n$ et :
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = \displaystyle \lim_{n \to +\infty} w_n = l$,
Alors :
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = l$

Exemple :
$u_n = \dfrac{2 + \sin n}{n}$
$-1 \leq \sin n \leq 1$
$1 \leq \sin n + 2 \leq 3$
$\displaystyle \dfrac{1}{n} \leq \dfrac{2 + \sin n}{n} \leq \dfrac{3}{n}$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3}{n} = 0$
Donc d’après le théorème des gendarmes, on a :
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

Propriété : Limites et Inégalités :
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites convergentes.
On suppose qu’il existe un entier naturel $n_0$, tel que pour tout entier $n \geq n_0$, $u_n \leq v_n$.
Alors :
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n \leq \displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n$