Limite de suites géométriques

I. Limite de suites géométriques

Théorème :
\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty \ \text{si} \ q > 1
\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 0 \ \text{si} \ -1 < q < 1
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n \ \text{n'a pas de limite si} \ q \leq -1$

Exemple :
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{1}{2} \right)^n = 0$
car -1 < \dfrac{1}{2} < 1.

Propriété :
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ avec $q \geq 0$ et de premier terme $u_p$ avec $p \in \mathbb{N}$.

$\circ \quad$ i) Si 0 \leq q < 1, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.
$\circ \quad$ ii) Si q > 1 et u_p < 0, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
$\circ \quad$ iii) Si q > 1 et u_p > 0, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
$\circ \quad$ iv) Si $q = 1$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = u_p$.

Exemple :
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 5$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3}{4}$. $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \dfrac{3}{4}$. Or 0 \leq \dfrac{3}{4} < 1. Donc :
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.

Propriété :
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ avec 0 \leq q < 1 et de premier terme $u_p$ avec $p \in \mathbb{N}$. Soit $S_n$ la somme des $n$ premiers termes de la suite $(u_n)$. On a :
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} S_n = \dfrac{u_p}{1 - q}$

Démonstration :
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ avec 0 \leq q < 1 et de premier terme $u_p$ avec $p \in \mathbb{N}$. Soit $S_n$ la somme des $n$ premiers termes de la suite $(u_n)$.
$S_n = u_p + u_{p+1} + u_{p+2} + \dots + u_{p+n-1} = u_p + u_p \times q + u_p \times q^2 + \dots + u_p \times q^{n-1}$
$S_n = u_p \times (1 + q + q^2 + \dots + q^{n-1}) = u_p \times \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$

Puisque $0 \leq q \lt 1$, on a $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.
Ainsi,
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1 - q^n}{1 - q} = \dfrac{1}{1 - q}$

Donc :
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} S_n = u_p \times \dfrac{1}{1 - q}=\frac{u_p}{1 - q}$