La droite réelle : ensemble IR et positionnement des nombres

Les nombres réels forment un ensemble très vaste qui comprend :

• les nombres entiers :$-3$, $0$, $7$,

• les nombres décimaux :$2{,}5$, $-0{,}1$,

• les fractions ou rationnels :$\dfrac{1}{2}, -\dfrac{3}{4}$ ,

• les nombres irrationnels (comme $\pi$ ou $\sqrt{2}$, qui ne peuvent pas s’écrire sous forme de fraction).

Tous ces nombres peuvent être représentés sur une droite graduée. Cette droite est appelée droite réelle.

I. L’ensemble des réels : $\mathbb{R}$

On note $\mathbb{R}$ l’ensemble des nombres réels. C’est un ensemble continu, ce qui signifie qu’entre deux réels, il y a toujours un autre réel.

Exemples :

• Entre $1$ et $2$, on trouve $1{,}5$.

• Entre $1{,}5$ et $2$, on trouve $1{,}75$, etc.

II. Correspondance entre la droite graduée et les réels

À chaque point de la droite graduée, on peut associer un unique nombre réel, et chaque nombre réel correspond à un point unique de la droite.

Cette correspondance est appelée bijection entre les points de la droite réelle et les réels.

Exemples d'application

Exemple 1 : Associer un nombre réel à un point
Un point est placé entre $-2$ et $-3$, exactement au milieu.
Quel est le réel associé à ce point ?
Réponse : $-2{,}5$

Exemple 2 : Placer un nombre sur la droite
Placer le nombre $2{,}3$ sur une droite graduée de 1 en 1.
Réponse : Il se trouve entre $2$ et $3$, un peu après $2{,}25$.

Exemple 3 : Quel nombre est situé entre $0{,}6$ et $0{,}7$ ?
Réponse : $0{,}65$, par exemple. On peut aussi dire $0{,}61$, $0{,}66$… il y en a une infinité.

III. Notation $\mathbb R ^*$ : l’ensemble des réels non nuls

La notation $\mathbb R^*$ correspond aux réels non nuls.

C'est l'ensemble de tous les réels privé de zéro, on peut aussi écrire : $\mathbb R^*=\mathbb R\setminus\{0\}$.