Lentilles minces convergentes, construction de l'image d'un objet et modélisation de l'oeil

REMARQUE IMPORTANTE : dans l'ensemble de la fiche, on considérera que les distances sont positives vers "le haut" et vers "la droite".

I. Généralités sur les lentilles minces

1. Introduction

• Dans notre vie quotidienne, nous utilisons de nombreux objets qui sont constitués de verres fabriqués en matériaux transparents, que l'on appelle des lentilles : les appareils photographiques, les loupes, les caméras, les jumelles, les lunettes, etc.

• Elles font partie du système optique de l'appareil considéré et participent également à l'observation d'univers très petits lorsque l'on utilise les microscopes ou très grands lorsque l'on utilise les télescopes.

2. Définitions

• Une lentille est un milieu transparent, limité par deux surfaces sphériques ou une surface sphérique et un plan.

• Les lentilles sont fabriquées dans un milieu isotrope, c'est-à-dire un milieu qui diffuse la lumière dans toutes les directions ;

• $D$ désigne le diamètre d'ouverture et $e$ l'épaisseur de la lentille.

• Une lentille est dite mince si son épaisseur au centre est petite devant son diamètre d'ouverture $D$.

3. Présentation des deux types de lentilles minces

• Il existe deux types de lentilles minces différentiables au toucher ou par le biais de méthodes expérimentales que nous n'étudierons pas ici (hors programme).

• On distingue les lentilles dites :

  $\circ\quad$ Convergentes à bords minces que l'on schématise de cette manière :

  

  $\circ\quad$ De gauche à droite on retrouve : une lentille plan-convexe, une lentille biconvexe (modèle le plus utilisé) et une lentille à ménisque convergent.

  $\circ\quad$ Son symbole est le suivant :

  

  De gauche à droite on retrouve une lentille plan convexe, une lentille biconvexe et une lentille à ménisque convergent.

  $\circ\quad$ Divergentes (uniquement pour information car hors programme) à bords épais que l'on schématise ainsi :

  

  $\circ\quad$ De gauche à droite, on retrouve dans ce cas : une lentille plan concave, une lentille biconcave et une lentille à ménisque divergent.

  $\circ\quad$ Son symbole est le suivant :

  

  Ici, de gauche à droite, on a : une lentille plan concave, une lentille biconcave et une lentille à ménisque divergent.

II. Caractéristiques d'une lentille mince convergente (LCV)

1. Schématisation et centre optique

• Si la lentille est suffisamment mince, on peut négliger sa partie centrale et elle peut donc être assimilée à un point : le centre optique ($O$).

• Propriété :

  Tout rayon passant par le centre optique $O$ d'une lentille n'est pas dévié.

2. Les axes optiques

• L'axe principal (ou abusivement axe optique, dénomination utilisée par la suite) est la droite perpendiculaire à l'axe de la lentille et passant par le centre optique $O$.

• Les axes secondaires sont toutes les autres droites passant par le centre optique $O$.

3. Foyer image et foyer objet

$\textcolor{purple}{\text{a. Foyer objet F de la lentille convergente}}$

• Définitions :

  $\circ\quad$ Un faisceau de rayons incidents issus du foyer principal objet $F$, situé sur l'axe optique, symétrique de $F'$ par rapport à $O$, émerge parallèlement à l'axe optique.

  $\circ\quad$ Le plan perpendiculaire à l'axe optique et passant par $F$ est appelé plan focal objet.

$\textcolor{purple}{\text{b. Foyer image F' de la lentille convergente}}$

• Définitions :

  $\circ\quad$ Tout rayon incident, parallèle à l'axe optique converge en un point $F'$, point remarquable de la lentille, constituant le foyer principal image de la lentille.

  $\circ\quad$ Le plan perpendiculaire à l'axe optique et passant par $F'$ est appelé plan focal image.

• Remarque : les foyers $F$ et $F'$ sont symétriques par rapport au centre optique.

4. Distances focales

• Définitions :

  $\circ\quad$ On appelle distance focale objet la grandeur $f = \overline{OF}$ ($f \lt 0$ pour une lentille convergente et $|f| = f'$).

  $\circ\quad$ On nomme distance focale image (utilisée en pratique) la grandeur $f' = \overline{OF'}$ mesurée sur l'axe optique orienté dans le sens de propagation de la lumière ($f' \gt 0$ pour une lentille convergente).

III. Construction de l'image d'un objet par une lentille convergente

1. Objets et images réels et virtuels : définitions

• On appelle objet (ponctuel) le point d'intersection des rayons incidents au système optique.

• Un objet est réel si tous les rayons qui lui parviennent sont réels (la source peut être "touchée"). Un objet réel est situé à gauche de la lentille.

• Un objet est virtuel si au moins un des rayons qui lui parviennent est virtuel. Un objet virtuel est situé à droite de la lentille.

• L'image d'un objet par une lentille est l'intersection des rayons qui parviennent sur le système optique.

• Une image est réelle si tous les rayons qui lui parviennent sont réels (elle peut être recueillie sur un récepteur). Une image réelle est située à droite de la lentille.

• Une image est virtuelle si au moins un des rayons qui lui parviennent est virtuel. Une image virtuelle est située à gauche de la lentille.

2. Schématisation de quelques situations

$\textcolor{purple}{\text{a. Objet réel / image réelle}}$

Ou encore si on prend un objet modélisé par les points $A$ et $B$ ($A$ étant situé sur l'axe optique et $B$ ne l'étant pas) :

$\textcolor{purple}{\text{b. Objet virtuel / image réelle}}$

• Dans cette situation :

  $\circ\quad$ $S$ (source ) est l'objet pour $L_1$ ;

  $\circ\quad$ $I'$ est l'image pour $L_1$ ;

  $\circ\quad$ $I'$ est l'objet pour $L_2$ ;

  $\circ\quad$ $I$ est l'image pour $L_2$.

• On imagine qu'on rapproche $L_2$ de $L_1$ de telle sorte que $I'$ se forme après $L_2$ :

  $\circ\quad$ $I'$ est alors un objet virtuel pour $L_2$.

$\textcolor{purple}{\text{c. Image d'un objet situé en avant de F}}$

• L'image $A'B'$ obtenue est renversée (de sens contraire à l'objet), plus grande ou plus petite que l'objet.

• On peut l'observer en plaçant un écran dans son plan focal image.

$\textcolor{purple}{\text{d. Image d'un objet situé entre O et F}}$

• Le point $B'$ est à l'intersection des prolongements des rayons émergents.

• L'image est droite (de même sens que l'objet), toujours plus grande que l'objet. Elle ne peut être vue que par un observateur placé derrière la lentille.

IV. Grandissement

1. Construction géométrique de l'image d'un objet

• Construction de l'image de $AB$ :

• On utilise les propriétés de trois rayons particuliers :

  $\circ\quad$ Le rayon qui passe par le centre optique de la lentille n'est pas dévié (ici le rayon $\textcolor{red}{\text{rouge}}$) ;

  $\circ\quad$ Le rayon issu de $B$ et parallèle à l'axe optique émerge en passant par le foyer image $F'$ (ici le rayon $\textcolor{green}{\text{vert}}$) ;

  $\circ\quad$ Le rayon issu de $B$ et passant par $F$, émerge parallèlement à l'axe optique (ici le rayon $\textcolor{blue}{\text{bleu}}$).

• Remarque : deux rayons suffisent pour établir la position d'un objet ou d'une image. Néanmoins, le tracé du troisième rayon peut permettre d'effectuer une vérification simple de la justesse du raisonnement.

2. Grandissement $\gamma$

• On considère le même schéma que précédemment.

• Définition :

  Le grandissement a pour expression :

  $\boxed{\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}}$

• Le grandissement est une grandeur sans dimension et une grandeur algébrique :

  $\circ\quad$ Si $\gamma \gt 0$, l'image est droite ;

  $\circ\quad$ Si $\gamma \lt 0$, l'image est renversée.

• Pratiquement, on utilise davantage la relation suivante :

  $\boxed{\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}}$

  (qu'on démontre grâce au théorème de Thalès)

V. Modélisation de l'œil

1. Description de l'œil

• L'œil est limité à l'extérieur par une membrane blanche appelée la sclérotique, sa partie antérieure s'appelle la cornée : celle-ci est transparente. Une seconde membrane, appelée la choroïde se situe à l'intérieur de la sclérotique : celle-ci transforme l'œil en chambre noire, qui est diaphragmée par l'iris (donnant la couleur aux yeux).

• L'ouverture de ce diaphragme est assurée par la pupille, dont le diamètre varie entre $2$ et $8 ~mm$ environ, selon l'intensité de la lumière reçue par l'œil. La pupille est largement ouverte la nuit alors qu'en plein soleil, son diamètre est minimal (de l'ordre de $2~mm$).

• Le cristallin est une lentille biconvexe composée d'un corps élastique transparent, il partage le globe oculaire en deux chambres complètement remplies de substances transparentes : l'humeur aqueuse dans la chambre antérieure et l'humeur vitrée dans la chambre postérieure.

• La chambre postérieure est tapissée par la rétine qui contient les cellules visuelles sensibles à la lumière.

_{Schéma : coupe de l'œil}

2. Modèle de l'œil réduit

• Les rayons lumineux émis par un objet entrent par la pupille de l'œil en passant par les milieux transparents (cornée, cristallin, humeur vitrée et humeur aqueuse).

• L'image est recueillie par la rétine par les cellules nerveuses et est envoyée sous forme de signaux électriques par le nerf optique jusqu'au cerveau. Celui-ci décode les signaux et restitue une image.

• Lorsqu'une image se forme : c'est l'ensemble des milieux transparents que l'on assimile à une lentille mince convergente.

• Définition :

  L'ensemble composé par la lentille et l'écran, constitué par la rétine, situé à 15 mm de la lentille est appelé "l'œil réduit".

  $\circ\quad$ Le diaphragme est constitué par l'ensemble pupille-iris.

  $\circ\quad$ L'image formée sur la rétine est renversée par rapport à l'objet mais grâce au cerveau, elle est perçue comme droite.

  $\circ\quad$ La rétine est constituée de deux sortes de cellules photosensibles : les cônes (sensibles aux couleurs) et les bâtonnets (sensibles à la lumière quelque soit sa couleur).

_{Schéma : l'œil réduit}

3. Notion d'accommodation de l'œil

• Lorsque l'œil normal voit sans effort des objets éloignés, l'œil est dit au repos ;

• La distance "cristallin-rétine" est égale à la distance focale notée $f' = OF'$. Cette distance est fixe et généralement de l'ordre de $17~mm$ ;

• Pour voir nettement des objets proches, les muscles de l'œil agissent sur le cristallin qui va se bomber pour former une image nette sur la rétine ;

• L'œil n'étant plus à l'infini et l'image se formant derrière le plan focal image, l'œil diminue sa distance focale OF' pour que l'image soit ramenée sur la rétine.

• En conclusion, l'accommodation augmente la convergence de l'œil mais la déformation du cristallin a une limite et on définit deux points importants :

  $\circ\quad$ Le Punctum Remotum ($PR$) est le point le plus loin qui peut être vu par un œil au repos ;

  $\circ\quad$ Le Punctum Proximum ($PP$) est le point le plus proche qui peut être vu par un œil qui accommode.

• En général, on considère que le $PR$ est situé à l'infini tandis que le $PP$ est à $25~cm$ du cristallin.

• Ainsi, l'œil se comporte comme un système optique et le cristallin est assimilé à une lentille mince convergente ajustable.

4. Les principaux défauts de l'œil

• L'œil est un organe pouvant présenter des anomalies, dont les principales sont dues au cristallin :

  $\circ\quad$ Les défauts les plus courants dans la population humaine sont la myopie, l'hypermétropie et la presbytie ;

  $\circ\quad$ Ces défauts se corrigent à l'aide de verres correcteurs.

• La myopie : le cristallin est trop convergent et les objets éloignés apparaissent flous. C'est le punctum remotum (PR) qui est situé trop près de l'œil. L'image se forme donc avant la rétine. Pour corriger ce défaut, on utilise des verres correcteurs divergents avant l'œil pour corriger ce défaut.

• L'hypermétropie : le cristallin n'est pas assez convergent et l'image est également floue. En effet, elle se forme après la rétine. Ainsi, on utilise des verres correcteurs convergents placés avant l'œil pour corriger ce défaut.

• La presbytie correspond à une diminution du pouvoir d'accommodation du cristallin, ce qui empêche de voir les objets de près. Elle se corrige par des verres correcteurs convergents.

_{= Merci à gbm pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}