Le binôme de Newton

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I. Coefficient binomial

Définition de la factorielle $n!$

Définition : Soit $n$ un entier naturel non nul. On appelle factorielle de $n$ le nombre :
$n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$

Par convention, $0! = 1$.

Définition du coefficient binomial

Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $k \leq n$, alors :

$\circ\quad$ Formule du coefficient binomial : $\displaystyle\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! (n - k)!}$.

$\circ\quad$Symétrie : $\displaystyle\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}$.

$\circ\quad$ Valeurs particulières :
$\displaystyle\binom{n}{0} = 1$,
$\displaystyle\binom{n}{1} = n$,
$\displaystyle\binom{n}{2} = \dfrac{n(n - 1)}{2}$.

$\circ\quad$ Relation de Pascal :
Pour tous entiers naturels $n$ et $k$ tels que $1 \leq k \leq n - 1$, on a :
$\displaystyle\binom{n}{k} = \binom{n - 1}{k - 1} + \binom{n - 1}{k}$.

Cette relation donne naissance au triangle de Pascal.

Démonstration combinatoire

Dans un arbre « succès-échec » à $n$ niveaux, le nombre de chemins réalisant $k$ succès est $\displaystyle \binom{n}{k}$.

Parmi ces chemins, on peut distinguer ceux qui commencent par :

• Un échec : il faut donc ensuite $k$ succès en $n - 1$ épreuves. Leur nombre est $\displaystyle \binom{n-1}{k}$.

• Un succès : il faut donc ensuite $k - 1$ succès en $n - 1$ épreuves. Leur nombre est $\displaystyle\binom{n-1}{k-1}$.

Donc : $\displaystyle\binom{n}{k} =\displaystyle \binom{n-1}{k} + \displaystyle\binom{n-1}{k-1}$.

Démonstration analytique :

Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $1 \leq k \leq n - 1$.

$\scriptsize\begin{aligned} { \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}} & = \dfrac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} + \dfrac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!} \\ & = \dfrac{k (n-1)!}{k!(n-k)!} + \dfrac{(n-k)(n-1)!}{k!(n-k)!} \\ & = \dfrac{k (n-1)! + (n-k)(n-1)!}{k!(n-k)!} \\ & = \dfrac{n (n-1)!}{k!(n-k)!} \\ & = \binom{n}{k} \end{aligned}$

II. Triangle de Pascal

On peut calculer les $\displaystyle \binom{n}{k}$ à l’aide du tableau ci-dessous, appelé triangle de Pascal.

Triangle de Pascal : _{(issu de Wikipedia)}

Présenté également souvent ainsi :

À l'intersection de la ligne $n$ et de la colonne $k$, on lit l'entier $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$.

On commence par écrire les « 1 » dans la 1^ère colonne et sur la diagonale, puis on utilise la relation de Pascal, selon le schéma : $\displaystyle\binom{n}{k} =\displaystyle \binom{n-1}{k} + \displaystyle\binom{n-1}{k-1}$.

III. Formule du binôme de Newton

Propriété : Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes. Pour tout entier naturel $n$, on a :

$(a + b)^n = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$

Cette formule se démontre par récurrence.

Exemple d'application :

$(a+b)^3=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{3} \binom{3}{k} a^k b^{3-k}$

$\scriptsize\begin{aligned} { (a+b)^3 } & = \binom{3}{0} a^0 b^{3-0} + \binom{3}{1} a^1 b^{3-1} + \binom{3}{2} a^2 b^{3-2} + \binom{3}{3} a^3 b^{3-3} \\ & = 1 \cdot b^3 + 3ab^2 + 3a^2b + 1 \cdot a^3 \\ & = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \end{aligned}$

$(a+b)^3=b^3+3ab^2+3a^2b+ a^3$

IV. Exemple d'application

Calculer $(1+\text i)⁴$.

Solution :

Il est indispensable de bien connaître sans hésitations les premières puissances du complexe $\text i$.

$\text i^1=\text i$ ; $\text i^2=-1$ ; $\text i^3=-\text i$ ; $\text i^4=1$ ; et ainsi de suite.

Les coefficients de la ligne $n=4$ du triangle de Pascal sont : 1 ; 4 ; 6 ; 4 ; 1.

$\scriptsize\begin{aligned}{ (1+\text{i})^4 } & = 1\times 1^0\times \text{i}^4 + 4\times 1^1\times \text{i}^3 \\& \quad + 6\times 1^2\times \text{i}^2 + 4\times 1^3\times \text{i}^1 + 1\times 1^4\times \text{i}^0 \\& = 1\times 1 \times 1 + 4\times 1\times (-\text{i}) + 6\times 1\times (-1) \\& \quad + 4\times 1\times \text{i} + 1\times 1\times 1 \\& = 1 - 4\text{i} - 6 + 4\text{i} + 1 \\& = -4\end{aligned}$

Dans cet exemple, on aurait pu mener le calcul plus rapidement, ce qui ne sera pas toujours le cas, en remarquant que $(1+\text i)^2=2\text i$.

On a alors : $(1+\text i)^4=\left((1+\text i)^2\right)^2=(2\text i)^2=-4$.

V. Pour aller plus loin : démonstration du binôme de Newton par récurrence

Énoncé :
$\forall n \in \mathbb{N}, \; \forall x, y \in \mathbb{R}, \quad (x + y)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k} y^{n-k}$

Preuve :

• Initialisation (n = 0) :
  $(x + y)^0 = 1$
  $\displaystyle\sum_{k=0}^{0} \binom{0}{k} x^{k} y^{0-k} = \binom{0}{0} x^0 y^0 = 1$
  Donc la formule est vraie pour $n = 0$.

• Hérédité : Supposons la formule vraie pour un entier $n \geq 0$, c'est-à-dire :
  $(x + y)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k} y^{n-k}$
  Montrons qu'elle est vraie au rang $n+1$ :
  $(x + y)^{n+1} = (x + y) \cdot (x + y)^n$
  Par hypothèse de récurrence :
  $(x + y)^{n+1} = (x + y) \cdot \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k} y^{n-k}$
  On développe :
  $= \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k+1} y^{n-k} \;+_; \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k} y^{n+1-k}$
  Dans la première somme, on effectue le changement d'indice $j = k+1$ (donc $j$ va de 1 à $n+1$) :
  $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k+1} y^{n-k} = \displaystyle\sum_{j=1}^{n+1} \binom{n}{j-1} x^{j} y^{n+1-j}$
  La deuxième somme reste :
  $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k} y^{n+1-k}$
  On combine les deux sommes. Les termes pour $j = 1$ à $n$ ont pour coefficient :
  $\displaystyle\binom{n}{j-1} + \binom{n}{j}$
  Par la formule de Pascal, $\displaystyle\binom{n}{j-1} + \binom{n}{j} = \binom{n+1}{j}$.
  Le terme $j = 0$ vient seulement de la deuxième somme (avec $k = 0$) :
  $\displaystyle\binom{n}{0} x^0 y^{n+1} = \binom{n+1}{0} x^0 y^{n+1}$
  Le terme $j = n+1$ vient seulement de la première somme (avec $k = n$) :
  $\displaystyle\binom{n}{n} x^{n+1} y^{0} = \binom{n+1}{n+1} x^{n+1} y^{0}$
  Ainsi :
  $(x + y)^{n+1} = \displaystyle\sum_{j=0}^{n+1} \binom{n+1}{j} x^{j} y^{n+1-j}$
  Ce qui est la formule au rang $n+1$.

Conclusion : La formule du binôme est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par récurrence.