La fonction carré

I. Définition

On nomme fonction carré, la fonction $f$définie sur $\mathbb{R}$ par $x \mapsto x^2$.

On écrit $f(x)=x^2$.

Tableau de valeurs :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -3 & -2 & -1 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 & 2 & 3 \\\hline x^2 & 9 & 4 & 1 & 0{,}25 & 0 & 0{,}25 & 1 & 4 & 9 \\\hline\end{array}$

Remarque :
La fonction carrée n'est pas affine.

II. Parité

L'ensemble de définition est $\mathbb R$ qui est bien un ensemble symétrique par rapport à $0$.
Pour tout $x$ de $\mathbb R$, $-x$ appartient à $\mathbb R$ et $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$.

La fonction carré est une fonction est paire.

III. Représentation graphique

Définition :
La représentation graphique de la fonction carrée se nomme parabole. On dit qu'on a dessiné la courbe d'équation $y=x^2$.

Remarque :
L'axe des ordonnées est un axe de symétrie de la représentation graphique de la fonction carré.

IV. Comparaison des images de deux valeurs

1^er cas :

Si $a$ et $b$ sont deux nombres positifs tels que $a\leq b$, alors $f(a)\leq f(b)$.

Les images $f(a)$ et $f(b)$ sont rangées dans le même ordre que $a$ et $b$.

2^eme cas :

Si $c$ et $d$ sont deux nombres négatifs tels que $c\leq d$, alors $f(c)\geq f(d)$.

Les images $f(c)$ et $f(d)$ sont rangées dans l'ordre inverse à $c$ et $d$.

⚠️ à ne surtout pas appliquer avec un nombre positif et un nombre négatif, cas où on ne peut pas conclure !

V. Conséquence : une nouvelle méthode pour comparer des nombres

Pour comparer deux nombres de même signe, on peut comparer leurs carrés

Exemple : Sans l'aide de la calculatrice, comparer $2\sqrt 3$ et $3\sqrt 2$.

$2\sqrt 3$ est positif comme produit de deux quantités positives, de même pour $3\sqrt 2$.

Les deux quantités sont de même signe,

Comparons leurs carrés.

$\left(2\sqrt 3\right)^2=2^2\times 3=12$

$\left(3\sqrt 2\right)^2=3^2\times 2=18$

$12 < 18\Rightarrow 2\sqrt 3 < 3\sqrt 2$