Les nombres rencontrés depuis la 6e

I. Les nombres entiers naturels $\mathbb N$

On peut compter des objets : 0 (il n'y a pas d'objet à compter), 1, 2, 3, 4, .... C'est ce qu'il y a de plus naturel. On appelle ces nombres les entiers naturels. Ils sont notés $\mathbb N$.

II. Les nombres entiers relatifs $\mathbb Z$

Un ascenseur peut descendre dans les sous-sols, la température descend en dessous de 0°C, on plonge en dessous du niveau de la mer, . . . On introduit alors les nombres négatifs tels que : -1, -2, -10, -300, ...
Les entiers négatifs et positifs forment l'ensemble des nombres entiers relatifs.

Un nombre n'est pas toujours entier. On peut le fractionner et il arrive qu'on obtienne des nombres qui ne soient pas entiers et appartiennent à une nouvelle famille.

Exemple :
Quand on partage un entier on peut obtenir :
un nombre entier : $\dfrac{32}{8}=4$
un nombre décimal : $\dfrac{5}{2}=2,5$ $\dfrac{7}{100}=0,07$
un nombre qui n'est pas décimal : $\dfrac{5}{3}=1,666...$

III. Les nombres décimaux $\mathbb D$

Définition :
Un nombre décimal est le quotient d'un nombre entier par une puissance de 10 (1, 10, 100, 1000...). Il est égal à une fraction de la forme $\dfrac{a}{10^p}$ où $a$ est un nombre entier relatif et $p$ un entier naturel.

Remarque :
Dans la pratique, les nombres décimaux sont les nombres dont l'écriture à virgule a un nombre fini de chiffres.

Exemples :
-10,41 est un nombre décimal car -10,41 = $-\dfrac{1041}{100}$
$\dfrac{8}{25}$ est un nombre décimal car $\dfrac{8}{25}=\dfrac{8\times4}{25\times4}=\dfrac{32}{100}$
5 est aussi un nombre décimal car 5 = $\dfrac{5}{1}$

Propriété :
Tous les nombres entiers sont des nombres décimaux.

IV. Les nombres rationnels $\mathbb Q$

Définition :
Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers. Il peut s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ des entiers relatifs et $b$ différent de 0.

Exemples : $\dfrac{2}{3}$ ; $\dfrac{4}{5}$ ; 5 ; ...

Remarque :
Ce n'est pas parce qu'il y a une notation fractionnaire que c'est forcément un nombre rationnel.
$\dfrac{\pi}{2}$ n'est pas un nombre rationnel.

Propriété :
Tous les nombres décimaux sont rationnels.

V. Les nombres irrationnels

Ce sont les nombres qui ne sont pas rationnels.

Exemples :
$\pi$ ; $2 \pi R$ ; $\sqrt{2}$ (diagonale du carré de côté 1)

Attention :
$\dfrac{4\pi}{3\pi}$ est un nombre rationnel car $\dfrac{4\pi}{3\pi}=\dfrac{4}{3}$

VI. Les réels $\mathbb R$

Lorsqu'on réunit toutes les catégories précédentes, on obtient ce que l'on appelle les nombres réels.

VII. Un exemple

Indiquer à quel(s) ensemble(s) appartient chacun des nombres suivants.

0 ; -4 ; 18 ; $\dfrac{4}{3}$ ; $\dfrac{9}{10}$ ; $\dfrac{17}{6}$ ; $\dfrac{9}{3}$ ; $\pi$ ; $\dfrac{1}{4}$ ; $\dfrac{-3}{1}$ ; $\dfrac{-21}{2}$ ; $\dfrac{2}{21}$ ; $\dfrac{-21}{7}$ ; $\dfrac{4\pi}{3}$

Voici les ensembles auxquels appartiennent chacun des nombres donnés :

$\circ\quad$ 0 : entier naturel, entier relatif, décimal, rationnel

$\circ\quad$ -4 : entier relatif, décimal, rationnel

$\circ\quad$ 18 : entier naturel, entier relatif, décimal, rationnel

$\circ\quad$ $\dfrac{4}{3}$ : rationnel

$\circ\quad$ $\dfrac{9}{10}$ : décimal, rationnel

$\circ\quad$ $\dfrac{17}{6}$ : rationnel

$\circ\quad$ $\dfrac{9}{3} = 3$ : entier naturel, entier relatif, décimal, rationnel

$\circ\quad$ $\pi$ : irrationnel

$\circ\quad$ $\dfrac{1}{4}$ : rationnel

$\circ\quad$ $\dfrac{-3}{1} = -3$ : entier relatif, décimal, rationnel

$\circ\quad$ $\dfrac{-21}{2}$ : rationnel

$\circ\quad$ $\dfrac{2}{21}$ : rationnel

$\circ\quad$ $\dfrac{-21}{7} = -3$ : entier relatif, décimal, rationnel

$\circ\quad$ $\dfrac{4\pi}{3}$ : irrationnel