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I. Inégalité de concentration

Théorème :

Soit $\overline{X}$ une variable aléatoire, $n \in \mathbb{N}^{*}$ , $X_1, \dots, X_n$ un échantillon aléatoire de $\overline{X}$ et $M_n = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ .

Alors $\forall a \in {0; +\infty}$ : $P \left( |M_n - E[X]| \geq a \right) \leq \dfrac{V[X]}{n a^2}$ .

II. Exemple

On lance $n$ fois un dé équilibré à 8 faces et on nomme $X_i$ la variable aléatoire donnant le résultat du $i$ -ème lancer. On admet que $E(X) = 4,5$ et $V(X_i) = 5,25$ pour tout entier $i$ entre 1 et $n$ .
Les lancers étant indépendants, $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ est un échantillon de variables aléatoires d’espérance $\mu = 4,5$ , de variance $V = 5,25$ et de moyenne $M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$ .

D’après l’inégalité de concentration pour $n = 100$ et $\delta = 0,5$ , on a $P(|M_{100} - 4,5| \geq 0,5) \leq \dfrac{5,25}{100 \times 0,5^2}$ , soit $\dfrac{5,25}{100 \times 0,25} = 0,21$ .

Donc $P(|M_{100} - 4,5| \geq 0,5) \leq 0,21$ , la probabilité que l’écart entre $M_{100}$ (la moyenne des 100 premiers résultats) et 4,5 soit supérieur ou égal à 0,5 est inférieure ou égale à 0,21.

I. Inégalité de concentration

Théorème :

Soit

\overline{X}

une variable aléatoire,

n \in \mathbb{N}^{*}

X_1, \dots, X_n

un échantillon aléatoire de

\overline{X}

M_n = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i

Alors

\forall a \in {0; +\infty}

P \left( |M_n - E[X]| \geq a \right) \leq \dfrac{V[X]}{n a^2}

II. Exemple

On lance

n

fois un dé équilibré à 8 faces et on nomme

X_i

la variable aléatoire donnant le résultat du

i

-ème lancer. On admet que

E(X) = 4,5

V(X_i) = 5,25

pour tout entier

i

entre 1 et

n

.
Les lancers étant indépendants,

(X_1, X_2, \dots, X_n)

est un échantillon de variables aléatoires d’espérance

\mu = 4,5

, de variance

V = 5,25

et de moyenne

M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}

D’après l’inégalité de concentration pour

n = 100

\delta = 0,5

, on a

P(|M_{100} - 4,5| \geq 0,5) \leq \dfrac{5,25}{100 \times 0,5^2}

, soit

\dfrac{5,25}{100 \times 0,25} = 0,21

Donc

P(|M_{100} - 4,5| \geq 0,5) \leq 0,21

, la probabilité que l’écart entre

M_{100}

(la moyenne des 100 premiers résultats) et 4,5 soit supérieur ou égal à 0,5 est inférieure ou égale à 0,21.