I. Loi des grands nombres
Théorème :
Soit une variable aléatoire, , un échantillon aléatoire de et .
Alors : .
II. Un exemple
On lance fois un dé équilibré à 8 faces et on nomme la variable aléatoire donnant le résultat du -ème lancer. On admet que et pour tout entier entre 1 et . On considère .
D’après la loi des grands nombres, , que l’on peut également écrire , tend vers 0 lorsque la taille de l’échantillon tend vers .
On en déduit que tend vers 1 lorsque la taille de l’échantillon tend vers . Autrement dit, si l’on fait un nombre suffisamment grand de lancers, on peut rendre l’événement « la moyenne de l’échantillon est dans » aussi probable qu’on le souhaite en prenant suffisamment grand.
Remarque Dans l’exemple, on aurait pu prendre ou , etc. : la loi des grands nombres illustre le fait que la moyenne de l’échantillon se rapproche de l’espérance des variables aléatoires quand la taille de l’échantillon « devient grande », comme cela a été vu en Première.