Loi des grands nombres

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I. Loi des grands nombres

Théorème :

Soit X\overline{X} une variable aléatoire, nNn \in \mathbb{N}^{*}, X1,,XnX_1, \dots, X_n un échantillon aléatoire de X\overline{X} et Mn=1ni=1nXiM_n = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i.

Alors a0;+\forall a \in {0; +\infty} : limn+P(MnE[X]a)=0\displaystyle\lim_{n \to +\infty} P \left( |M_n - E[X]| \geq a \right) = 0.

II. Un exemple

On lance nn fois un dé équilibré à 8 faces et on nomme XiX_i la variable aléatoire donnant le résultat du ii-ème lancer. On admet que E(X)=4,5E(X) = 4,5 et V(Xi)=5,25V(X_i) = 5,25 pour tout entier ii entre 1 et nn. On considère δ=0,1\delta = 0,1.

D’après la loi des grands nombres, P(Mn4,50,1)P(|M_n - 4,5| \geq 0,1), que l’on peut également écrire P(Mn]4,4;4,6[)P(M_n \notin ]4,4 ; 4,6[), tend vers 0 lorsque la taille de l’échantillon tend vers ++\infty.

On en déduit que P(Mn]4,4;4,6[)P(M_n \in ]4,4 ; 4,6[) tend vers 1 lorsque la taille de l’échantillon tend vers ++\infty. Autrement dit, si l’on fait un nombre suffisamment grand de lancers, on peut rendre l’événement « la moyenne de l’échantillon est dans ]4,4;4,6[]4,4 ; 4,6[ » aussi probable qu’on le souhaite en prenant nn suffisamment grand.

Remarque Dans l’exemple, on aurait pu prendre δ=0,01\delta = 0,01 ou 0,0010,001, etc. : la loi des grands nombres illustre le fait que la moyenne de l’échantillon se rapproche de l’espérance des variables aléatoires quand la taille de l’échantillon « devient grande », comme cela a été vu en Première.