Loi des grands nombres

I. Loi des grands nombres

Théorème :

Soit $\overline{X}$ une variable aléatoire, $n \in \mathbb{N}^{*}$, $X_1, \dots, X_n$ un échantillon aléatoire de $\overline{X}$ et $M_n = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$.

Alors $\forall a \in {0; +\infty}$ : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} P \left( |M_n - E[X]| \geq a \right) = 0$.

II. Un exemple

On lance $n$ fois un dé équilibré à 8 faces et on nomme $X_i$ la variable aléatoire donnant le résultat du $i$-ème lancer. On admet que $E(X) = 4,5$ et $V(X_i) = 5,25$ pour tout entier $i$ entre 1 et $n$. On considère $\delta = 0,1$.

D’après la loi des grands nombres, $P(|M_n - 4,5| \geq 0,1)$, que l’on peut également écrire $P(M_n \notin ]4,4 ; 4,6[)$, tend vers 0 lorsque la taille de l’échantillon tend vers $+\infty$.

On en déduit que $P(M_n \in ]4,4 ; 4,6[)$ tend vers 1 lorsque la taille de l’échantillon tend vers $+\infty$. Autrement dit, si l’on fait un nombre suffisamment grand de lancers, on peut rendre l’événement « la moyenne de l’échantillon est dans $]4,4 ; 4,6[$ » aussi probable qu’on le souhaite en prenant $n$ suffisamment grand.

Remarque Dans l’exemple, on aurait pu prendre $\delta = 0,01$ ou $0,001$, etc. : la loi des grands nombres illustre le fait que la moyenne de l’échantillon se rapproche de l’espérance des variables aléatoires quand la taille de l’échantillon « devient grande », comme cela a été vu en Première.