Expérience aléatoire et probabilité

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I. Expérience aléatoire

Définition : Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs issues (ou résultats) possibles et que l’on ne peut ni prévoir, ni calculer laquelle de ces issues sera réalisée.

Définition : Définir une loi de probabilité, c’est associer à chaque issue sa probabilité. On la présente en général sous forme d’un tableau :

Propriété : Pour tout $i$ allant de $1$ à $k$, on a

$0≤pi≤1$ et $p_1+p_2+\dots +p_k=1$.

Définition : Une loi est dite équirépartie (ou équiprobable) lorsque toutes les issues ont la même probabilité d’être obtenues.

A retenir : la loi de probabilité est associée à l'expérience choisie ; on peut donc définir plusieurs lois de probabilité sur un même univers.

Exemples :

$1.$ On lance un dé à 6 faces, et on s'intéresse au chiffre lu sur la partie supérieure ;
$Ω = \{1;2;3;4;5;6\}$
La probabilité de chacune des 6 issues $e_i$ est $p(e_i) = \dfrac{1}{6}$ ; et on a
$p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = 1$

$2.$ On tire au hasard une boule dans une urne qui contient 3 boules bleues (B) et 2 boules rouges (R) ;
$Ω = \{B;R\}$ et $p(B) = \dfrac{3}{5}$ ; $p(R) = \dfrac{2}{5}$ ; $p(B) + p(R) = 1$

II. Evénement

$1$ Définitions

Un événement est une partie de l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.

Définition :
La probabilité d’un événement $E$, notée $P(E)$, est la somme des probabilités des issues qui réalisent $E$.

Propriétés :

$\circ\quad$La probabilité d’un événement est toujours comprise entre $0$ et $1$ : $0 \leq P(E) \leq 1$.

$\circ\quad$Si $\Omega$ est l’ensemble des issues, alors la probabilité de l’événement certain est égale à $1$ : $P(\Omega) = 1$.

$\circ\quad$La probabilité de l’événement impossible est égale à $0$ : $P(\varnothing) = 0$.

$2$ Intersection d’événements

Définition :

L’événement $A \cap B$ est constitué des issues qui réalisent à la fois l’événement $A$ et l’événement $B$.

$3$ Réunion d’événements

Définition :

L’événement $A \cup B$ est constitué des issues qui réalisent l’événement $A$ et/ou l’événement $B$.

$4$ Événement contraire

Définition : L’événement contraire de $A$, noté $\overline{A}$, est constitué des issues qui ne réalisent pas $A$.

On a la relation :$P(\overline A)=1−P(A)$