Evénements indépendants

Dans cette leçon, $A$ et $B$ sont deux événements de $\Omega$ tels que $P(A) \neq 0$ et $P(B) \neq 0$.

I. Définition

On dit que $A$ et $B$ sont indépendants si $P(B) = P_A(B)$

Remarques

$\circ\quad$ Concrètement, cela veut dire que le fait que $A$ soit réalisé n’a pas d’influence sur la probabilité de réalisation de $B$.

$\circ\quad$ De manière symétrique, on a alors également $P(A) = P_B(A)$.

Propriété : A et B sont indépendants si, et seulement si, $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

II. Exemple

On donne la répartition des licenciés dans un club.

On tire au sort une personne de ce club pour une tombola et on considère les événements $A$ : « La personne est adulte. » et $B$ : « La personne pratique le basket-ball. »

Dans cet exemple, on appelle $G$ l'événement « La personne pratique la gymnastique ».

On a alors $P(A) = \dfrac{132}{528} = \dfrac{1}{4}$, $P(G) = \dfrac{101}{528}$ donc

$P(A) \times P(G) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{101}{528} \approx 0,048$ d'une part.

D'autre part, $P(A \cap G) = \dfrac{14}{528} \approx 0,027$.

Ainsi, $P(A \cap G) \neq P(A) \times P(G)$ donc $A$ et $G$ ne sont pas indépendants.