Partition et formule des probabilités totales

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Maîtrise la notion de partition de l’univers et applique la formule des probabilités totales pour calculer précisément la probabilité d’un événement. Un outil incontournable pour résoudre des problèmes complexes de probabilité ! Mots-clés : partition, univers, probabilité totale, événement, complémentaire, intersection.

I. Partition de l'univers

Soient A1,A2,,AnA_1, A_2, \dots, A_n nn sous-ensembles de Ω\Omega.
On dit que A1,A2,,AnA_1, A_2, \dots, A_n forment une partition de Ω\Omega si :

\checkmarki,Ai\forall i, \quad A_i \neq \emptyset

  i,j,ijAiAj=\checkmark\; \forall i, \forall j, \quad i \neq j \Rightarrow A_i \cap A_j = \emptyset

  A1A2An=Ω\checkmark\; A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n = \Omega

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Ce qui peut se dire : la probabilité d'un événement associé à plusieurs issues est égale à la somme des probabilités de chacune de ses issues.

Remarque : Si AA \neq \emptyset et AΩA \neq \Omega, alors AA et A\overline{A} forment une partition de Ω\Omega.

II. Formule des probabilités totales

Théorème :

Soient A1,,An A_1, \dots, A_n n n événements qui forment une partition de Ω \Omega .
Alors, pour tout événement B B de Ω \Omega , on a :

P(B)=P(A1B)++P(AnB) P(B) = P(A_1 \cap B) + \dots + P(A_n \cap B)

=PA1(B)×P(A1)++PAn(B)×P(An) = P_{A_1}(B ) \times P(A_1) + \dots + P_{A_n}(B ) \times P(A_n)

Un cas fréquent est d'utiliser une partition de l'univers par un ensemble AA et son complémentaire A\overline A ce qui donne :

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