Lois à densité : définition

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I. LOI À DENSITÉ

Certaines variables aléatoires, comme le temps d’attente (en minutes) à un service d’assistance téléphonique, ou la taille d’un bébé (en cm) à la naissance, peuvent prendre pour valeur un nombre réel quelconque d’un intervalle.

L’ensemble des valeurs possibles est donc un intervalle de réels, et non une suite de valeurs discrètes. On dit alors que la variable aléatoire est continue.

Dans ce cas, on introduit une nouvelle notion : la densité de probabilité.

Définition :
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est une densité de probabilité (ou fonction de densité) sur $I$ si et seulement si :

$\checkmark$ $f$ est continue et positive sur $I$ ;

$\checkmark$ et si l’aire sous la courbe de $f$ sur $I$ est égale à 1, autrement dit :

$\displaystyle \int_I f(x)\,\text{d}x = 1$

Exemple :

La fonction $f$ définie par $f(x) = 2x$ est une densité de probabilité sur l’intervalle $[0 ; 1]$.

En effet, on sait que $f$ est une fonction affine. Elle est donc continue sur tout intervalle de $\mathbb{R}$,
et pour tout réel $x$ compris entre 0 et 1, il est clair que $f(x)$ est positif.

De plus : $\displaystyle \int_0^1 2x\,\text{d}x = \left[ x^2 \right]_0^1 = 1^2 - 0^2 = 1$

Ainsi, la fonction $f$ est bien une densité de probabilité sur $[0 ; 1]$.

II. Variable aléatoire à densité

Définition :
Soit $f$ une densité de probabilité sur un intervalle $I$.

Dire que la variable aléatoire $X$ suit une loi de densité $f$ sur $I$ signifie que, pour tout intervalle $[c ; d] \subset I$ :

$\mathbb{P}(X \in [c ; d]) = \mathbb{P}(c \leq X \leq d) = \displaystyle \int_c^d f(x)\,\text{d}x$

On dit alors que $X$ est une variable aléatoire à densité.

Remarque :
Quel que soit le nombre réel $c \in I$ : $\mathbb{P}(X = c) = \displaystyle \int_c^c f(x),\text{d}x = 0$

Cela signifie que la probabilité que $X$ prenne une valeur exacte donnée est nulle.

Par conséquent, on peut remplacer les inégalités strictes par des inégalités larges.
Par exemple : $\mathbb{P}(5 \lt X \lt 12) = \mathbb{P}(5 \leq X \leq 12)$

III. Fonction de répartition

Définition :
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une densité $f$ sur un intervalle $I$.

On appelle fonction de répartition de $X$ la fonction $F$ définie par :

$F(x) = \mathbb{P}(X \leq x)$

Remarque :
Soit $a$ la borne inférieure de l’intervalle $I$, alors pour tout $x \in I$ :

$\mathbb{P}(X \leq x) = \displaystyle \int_a^x f(t)\,\text{d}t$

Donc $F$ est la primitive de $f$ qui s’annule en $a$.
Si $a = -\infty$, alors : $\mathbb{P}(X \leq x) = \displaystyle \lim_{a \to -\infty} \int_a^x f(t),\text{d}t$

Exemple :

Si $X$ suit la loi de densité $f : x \mapsto 2x$ sur $[0 ; 1]$, alors :

La fonction de répartition $F$ est la primitive de $f$ qui s’annule en 0
$\Rightarrow F(x) = x^2$

On a donc : $\small \mathbb{P}(0{,}2 \leq X \leq 0{,}3) = F(0{,}3) - F(0{,}2)$

$\phantom{\small \mathbb{P}(0{,}2 \leq X \leq 0{,}3)}= 0{,}3^2 - 0{,}2^2$

$\phantom{\small \mathbb{P}(0{,}2 \leq X \leq 0{,}3)}= 0{,}09 - 0{,}04$

$\phantom{\small \mathbb{P}(0{,}2 \leq X \leq 0{,}3)}= 0{,}05$