Les notions d’espérance et de variance de variables aléatoires continues généralisent celles que l’on connaît pour les variables aléatoires discrètes.

I) Espérance

Définition : L’espérance d’une variable aléatoire X dont la densité de probabilité est f est le nombre noté E(X) :

$E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} t f (t) d t$

À noter
Ici, les bornes de l’intégrale sont infinies .
L’espérance d’une variable aléatoire s’appelle aussi sa moyenne.

Remarque : Souvent la densité de probabilité est définie sur des intervalles bornés ou semi-bornés. Le calcul de l’intégrale se résume alors à un calcul entre a et b ou entre −∞ et b ou entre a et +∞.

Propriété : Comme pour les variables aléatoires discrètes, l’espérance est linéaire. Pour tous réels a et b : E(aX + b) = aE(X) + b.

II) Variance

Définition : La variance d’une variable aléatoire X dont la densité de probabilité est f est le nombre noté V(X) :

$V (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} t^{2} f (t) d t - {(E (X))}^{2}$

Pour calculer la variance d’une variable aléatoire il est donc nécessaire d’avoir calculé au préalable son espérance.

La variance est un indicateur de la dispersion des valeurs de X autour de son espérance : plus la variance est grande et plus les valeurs de X sont dispersées (on dit aussi étalées) autour de l’espérance.

Exemples : Courbes de densités de probabilité de variables aléatoires X d’espérance 3 et de variances plus ou moins grandes.

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Méthode

Calculer l’espérance d’une variable aléatoire continue

On pose $f (t) = {\begin{matrix} e^{- t} si t ⩾ 0 \\ 0 si t < 0 \end{matrix}$ .

1. Montrer que f est une densité de probabilité.

2. Vérifier que F définie par F(t) = e⁻^t(−t − 1) est une primitive de t ↦ te⁻^t.

3. Montrer que $\int_{0}^{A} t e^{- t} d t = - A e^{- A} - e^{- A} + 1$ .

4. Calculer l’espérance de la variable aléatoire X de densité f.

Conseils
1. Utilisez les formules du cours et la limite : $\lim_{x \to + \infty} e^{- x} = 0$ .
2. La dérivée de x ↦ e^a^x est x ↦ ae^ax (où a est une constante). Utilisez la formule de la dérivée d’un produit de fonctions : ${(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .
3. Si F est une primitive de f alors $\int_{a}^{b} f (t) d t = F (b) - F (a)$ .
4. Utilisez $\lim_{x \to + \infty} \frac{x}{e^{x}} = 0$ .

1. La fonction f est évidemment positive et continue par morceaux.

De plus, $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) d t = \int_{0}^{+ \infty} f (t) d t = \lim_{x \to + \infty} \int_{0}^{x} f (t) d t$ .

Or $\int_{0}^{x} f (t) d t = {[- e^{- t}]}_{0}^{x} = 1 - e^{- x}$ . De plus $\lim_{x \to + \infty} e^{- x} = 0$ .

Il en résulte que $\lim_{x \to + \infty} \int_{0}^{x} f (t) d t = 1$ . On a donc bien $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) d t = 1$ .

C’est pourquoi f est une densité de probabilité.

2. On a $F^{'} (t) = - e^{- t} (- t - 1) + e^{- t} (- 1) = e^{- t} (t + 1 - 1) = t e^{- t}$ .

3. $\int_{0}^{A} t e^{- t} d t = F (A) - F (0)$ = e⁻^A(−A − 1) − e⁰(−1) = $- A e^{- A} - e^{- A} + 1$ .

4. On sait que $E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} t f (t) d t = \int_{0}^{+ \infty} t e^{- t} d t$ $= \lim_{A \to + \infty} \int_{0}^{A} t e^{- t} d t$ . De plus $\lim_{A \to + \infty} (- A e^{- A} - e^{- A} + 1) = 0 + 0 + 1 = 1$ . Donc $E (X) = \int_{0}^{+ \infty} t e^{- t} d t = 1$ .

Espérance et variance de variables aléatoires continues

I) Espérance

II) Variance

Méthode

Calculer l’espérance d’une variable aléatoire continue