Densité de probabilité et variables aléatoires continues

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Lorsqu’une variable aléatoire est continue, on calcule non pas la probabilité d’apparition d’une valeur donnée, mais celle de tomber dans un intervalle de valeurs.

I) Densité de probabilité

Définition : Une densité de probabilité est une fonction f définie sur ℝ, positive, continue par morceaux et telle que +f(t)dt=1.

Définition : Une fonction continue par morceaux est une fonction qui est continue sauf en un nombre fini de points.

Calcul de l’intégrale : Soit a un nombre quelconque, si limx+axf(t)dt existe et est finie, de valeur ℓ1 et si limxxaf(t)dt existe et est finie de valeur ℓ2 alors +f(t)dt=1+2.

Graphiquement, l’aire comprise entre la courbe et l’axe des abscisses est égale à 1.

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II) Loi d’une variable aléatoire continue

Définition : Soit f une densité de probabilité. Dire qu’une variable aléatoire X a pour loi la densité f signifie que pour tout x ∈ ℝ :

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P(X  x)=P(X < x)=xf(t)dt

Dans ce cas on dit que X est une variable aléatoire continue.

Définition : La fonction : ↦ P(X ≤ x) s’appelle la fonction de répartition de X.

P(a  X  b)=P(a<X<b)=F(b)F(a)=abf(t)dt

En effet, P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X a) = F(b) − F(a) et

P(a  X  b)=bf(t)dt  af(t)dt = af(t)dt + abf(t)dt  af(t)dt = abf(t)dt.

Méthode

Reconnaître une densité de probabilité

1. Soit f la fonction définie par f(x)=kx2 si x ∈ [1 ; 5] et f(x) = 0 si x ∉ [1 ; 5].

a. Tracer sommairement la représentation graphique de f pour k=14.

b. Déterminer k pour que f soit une densité de probabilité.

2. Mêmes questions pour f(x)=kx2 si x ∈ [1 ; +∞[ et f(x) = 0 sinon.

Conseils

1. et 2.f doit vérifier toutes les conditions que doit remplir une densité de probabilité.

1. a. Figure ci-contre. 6e113d48-cfe5-4613-a07c-922207481006

b.f est visiblement positive (produit d’un carré par un nombre positif) ; elle est continue par morceaux (il y a une coupure aux points d’abscisses 1 et 5).

De plus +f(x)dx=15kx2dx=k[1x]15=k(115)=4k5.

Pour que 4k5=1, il faut et il suffit que 4k5=1 c’est-à-dire k=54.

2. Figure ci-contre.804f313c-cad2-415c-b7b9-ef417a2e5daf

Comme précédemment, f est positive et continue par morceaux et :

1xkt2dt=k[1t]1x=k(11x).

De plus limx+1xkt2dt = limx+ k(11x) = k car limx+1x=0.

On en déduit que 1+kt2  dt=k. Par conséquent il suffit de choisir k = 1 pour que f soit une densité de probabilité.