Équations de la forme y'=ay+b

Cas : $a=0$ alors l'équation différentielle s'écrit $y'=b$ dont les solutions sont les fonctions définies sur $\mathbb R$ par $f(x)=bx+C$ où $C$ est une constante réelle.

Dans toute la suite, le réel $a$ sera supposé non nul.

Définition :
L’équation différentielle $(E) : y' = ay + b$ ($a \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R}$), qui peut aussi s’écrire $y' - ay = b$, est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre.

Exemple :
L’équation $y' = 3y + 2$ est une équation différentielle linéaire du premier ordre avec $a = 3$ et $b = 2$.

Théorème :
Il existe une solution constante à l’équation différentielle $(E) : y' = ay + b$ ($a \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R}$) définie sur $\mathbb{R}$ par : $y(x) = -\dfrac{b}{a}$

Théorème :
Les solutions de l’équation différentielle $(E) : y' = ay + b$ ($a \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R}$) sont obtenues en ajoutant une solution particulière $y_P$ de $(E)$ aux solutions $y_H$ de l’équation homogène associée $(E_H) : y' = ay$.

Propriété :
Les solutions de $(E)$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :
$y(x)= C\text e^{ax} - \dfrac{b}{a},\quad C \in \mathbb{R}$.

Exemple :
Résoudre l’équation différentielle $(E) : y' = 3y + 2$.

1. Résolution de l’équation homogène $(E_H) : y' = 3y$
   $a = 3$, donc pour tout réel $x$ :
   $H(x) = C\text e^{3x},\quad C \in \mathbb{R}$.

2. Recherche d’une solution particulière de $(E)$
   $a = 3$ et $b = 2$, donc pour tout réel $x$ :
   $P(x) = -\dfrac{2}{3}$.

3. Ensemble des solutions de $(E)$
   Les solutions de $(E)$ sont de la forme $y = y_H + y_P$. Donc, pour tout réel $x$ :
   $y(x) = C\text e^{3x} - \dfrac{2}{3},\quad C \in \mathbb{R}$.

Théorème :
L’équation différentielle $(E) : y' = ay + b$ ($a \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R}$) admet une unique solution vérifiant la condition initiale $y(x_0) = y_0$, où $x_0$ et $y_0$ sont deux réels.

Remarque :
Avant de déterminer la valeur de la constante à l’aide des conditions initiales, il faut d’abord déterminer l’ensemble des solutions de $(E)$.

Exemple d'application 1 :
Déterminer la solution de l’équation différentielle $(E) : y' = 3y + 2$ avec $y(0) = 3$.

D’après l’exemple précédent, pour tout réel $x$ :
$y(x) = C\text e^{3x} - \dfrac{2}{3},\quad C \in \mathbb{R}$.

En utilisant la condition initiale $y(0) = 3$ :
$y(0) = 3 \iff 3 = C\text e^0 - \dfrac{2}{3}$
$\iff 3 = C - \dfrac{2}{3}$
$\iff C = \dfrac{11}{3}.$

Donc : $y(x) = \dfrac{11}{3}\text e^{3x} - \dfrac{2}{3}.$

Exercice d'application 2 :

Soit l'équation différentielle $4y' - y = 6$. Déterminer la solution de cette équation qui prend la valeur 4 en 0.

Solution :

Cette équation peut s'écrire sous la forme $y' = \frac{1}{4}y + \frac{3}{2}$.
Elle est de la forme $y' = ay + b$.
Ses solutions sont donc les fonctions : $f : x \mapsto Ce^{ax} - \frac{b}{a}$.
Soit, dans notre cas : $f : x \mapsto Ce^{\frac{1}{4}x} - 6$, où $C \in \mathbb{R}$.

Nous pouvons maintenant déterminer la valeur de la constante $C$ grâce à la condition initiale imposée : $f(0) = 4$.
On a donc : $C - 6 = 4$, soit $C = 10$.
La fonction $f$ cherchée est donc définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 10e^{\frac{1}{4}x} - 6$.