Cas : a=0 alors l'équation différentielle s'écrit y′=b dont les solutions sont les fonctions définies sur R par f(x)=bx+C où C est une constante réelle.
Dans toute la suite, le réel a sera supposé non nul.
Définition :
L’équation différentielle (E):y′=ay+b (a∈R∗,b∈R), qui peut aussi s’écrire y′−ay=b, est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre.
Exemple :
L’équation y′=3y+2 est une équation différentielle linéaire du premier ordre avec a=3 et b=2.
Théorème :
Il existe une solution constante à l’équation différentielle (E):y′=ay+b (a∈R∗,b∈R) définie sur R par : y(x)=−ab
Théorème :
Les solutions de l’équation différentielle (E):y′=ay+b (a∈R∗,b∈R) sont obtenues en ajoutant une solution particulière yP de (E) aux solutions yH de l’équation homogène associée (EH):y′=ay.
Propriété :
Les solutions de (E) sont les fonctions définies sur R par :
y(x)=Ceax−ba,C∈R.y(x) = C\text e^{ax} - \dfrac{b}{a},\quad C \in \mathbb{R}.y(x)=Ceax−ab,C∈R.
Exemple :
Résoudre l’équation différentielle (E):y′=3y+2.
Résolution de l’équation homogène (EH):y′=3y
a=3, donc pour tout réel x :
yH(x)=Ce3x,C∈R.y_H(x) = C\text e^{3x},\quad C \in \mathbb{R}.yH(x)=Ce3x,C∈R.
Recherche d’une solution particulière de (E)
a=3 et b=2, donc pour tout réel x :
yP(x)=−23.y_P(x) = -\dfrac{2}{3}.yP(x)=−32.
Ensemble des solutions de (E)
Les solutions de (E) sont de la forme y=yH+yP. Donc, pour tout réel x :
y(x)=Ce3x−32,C∈R.</p></li></ol><p><strong>Theˊoreˋme</strong>:<br>L’eˊquationdiffeˊrentielle(E) : y' = ay + b(a \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R})admetuneuniquesolutionveˊrifiantlaconditioninitialey(x_0) = y_0,ouˋx_0ety_0sontdeuxreˊels.</p><p><strong>Remarque</strong>:<br>Avantdedeˊterminerlavaleurdelaconstanteaˋl’aidedesconditionsinitiales,ilfautd’aborddeˊterminerl’ensembledessolutionsde(E).</p><p><strong>Exemple</strong><strong>d′application1:</strong><br>Deˊterminerlasolutiondel’eˊquationdiffeˊrentielle(E) : y' = 3y + 2avecy(0) = 3.</p><p>D’apreˋsl’exemplepreˊceˊdent,pourtoutreˊelx:<br>y(x) = C\text e^{3x} - \dfrac{2}{3},\quad C \in \mathbb{R}.</p><p>Enutilisantlaconditioninitialey(0) = 3:<br>y(0) = 3 \iff 3 = C\text e^0 - \dfrac{2}{3}<br>\iff 3 = C - \dfrac{2}{3}<br>\iff C = \dfrac{11}{3}.</p><p>Donc:y(x) = \dfrac{11}{3}\text e^{3x} - \dfrac{2}{3}.</p><p><strong>Exerciced′application2:</strong></p><p>Soitl′eˊquationdiffeˊrentielle4y' - y = 6.Deˊterminerlasolutiondecetteeˊquationquiprendlavaleur4en0.</p><p><strong>Solution:</strong></p><p>Cetteeˊquationpeuts′eˊcriresouslaformey' = \frac{1}{4}y + \frac{3}{2}.<br>Elleestdelaformey' = ay + b.<br>Sessolutionssontdonclesfonctions:f : x \mapsto Ce^{ax} - \frac{b}{a}.<br>Soit,dansnotrecas:f : x \mapsto Ce^{\frac{1}{4}x} - 6,ouˋC \in \mathbb{R}.</p><p>NouspouvonsmaintenantdeˊterminerlavaleurdelaconstanteCgra^ceaˋlaconditioninitialeimposeˊe:f(0) = 4.<br>Onadonc:C - 6 = 4,soitC = 10.<br>Lafonctionfchercheˊeestdoncdeˊfiniesur\mathbb{R}par:f(x) = 10e^{\frac{1}{4}x} - 6$.