Équations de la forme y'=ay+b

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Cas : a=0a=0 alors l'équation différentielle s'écrit y=by'=b dont les solutions sont les fonctions définies sur R\mathbb R par f(x)=bx+Cf(x)=bx+CCC est une constante réelle.

Dans toute la suite, le réel aa sera supposé non nul.

Définition :
L’équation différentielle (E):y=ay+b(E) : y' = ay + b (aR,bRa \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R}), qui peut aussi s’écrire yay=by' - ay = b, est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre.

Exemple :
L’équation y=3y+2y' = 3y + 2 est une équation différentielle linéaire du premier ordre avec a=3a = 3 et b=2b = 2.

Théorème :
Il existe une solution constante à l’équation différentielle (E):y=ay+b(E) : y' = ay + b (aR,bRa \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R}) définie sur R\mathbb{R} par : y(x)=bay(x) = -\dfrac{b}{a}

Théorème :
Les solutions de l’équation différentielle (E):y=ay+b(E) : y' = ay + b (aR,bRa \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R}) sont obtenues en ajoutant une solution particulière yPy_P de (E)(E) aux solutions yHy_H de l’équation homogène associée (EH):y=ay(E_H) : y' = ay.

Propriété :
Les solutions de (E)(E) sont les fonctions définies sur R\mathbb{R} par :
y(x)=Ceax−ba,C∈R.y(x) = C\text e^{ax} - \dfrac{b}{a},\quad C \in \mathbb{R}.y(x)=Ceax−ab​,C∈R.

Exemple :
Résoudre l’équation différentielle (E):y=3y+2(E) : y' = 3y + 2.

  1. Résolution de l’équation homogène (EH):y=3y(E_H) : y' = 3y
    a=3a = 3, donc pour tout réel xx :
    yH(x)=Ce3x,C∈R.y_H(x) = C\text e^{3x},\quad C \in \mathbb{R}.yH​(x)=Ce3x,C∈R.

  2. Recherche d’une solution particulière de (E)(E)
    a=3a = 3 et b=2b = 2, donc pour tout réel xx :
    yP(x)=−23.y_P(x) = -\dfrac{2}{3}.yP​(x)=−32​.

  3. Ensemble des solutions de (E)(E)
    Les solutions de (E)(E) sont de la forme y=yH+yPy = y_H + y_P. Donc, pour tout réel xx :
    y(x)=Ce3x23,CRy(x) = C\text e^{3x} - \dfrac{2}{3},\quad C \in \mathbb{R}.</p></li></ol><p><strong>Theˊoreˋme</strong>:<br>Leˊquationdiffeˊrentielle</p></li></ol><p><strong>Théorème</strong> :<br>L’équation différentielle (E) : y' = ay + b( (a \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R})admetuneuniquesolutionveˊrifiantlaconditioninitiale) admet une unique solution vérifiant la condition initiale y(x_0) = y_0,ouˋ, où x_0et et y_0sontdeuxreˊels.</p><p><strong>Remarque</strong>:<br>Avantdedeˊterminerlavaleurdelaconstanteaˋlaidedesconditionsinitiales,ilfautdaborddeˊterminerlensembledessolutionsde sont deux réels.</p><p><strong>Remarque</strong> :<br>Avant de déterminer la valeur de la constante à l’aide des conditions initiales, il faut d’abord déterminer l’ensemble des solutions de (E).</p><p><strong>Exemple</strong><strong>dapplication1:</strong><br>Deˊterminerlasolutiondeleˊquationdiffeˊrentielle.</p><p><strong>Exemple</strong> <strong>d'application 1 :</strong><br>Déterminer la solution de l’équation différentielle (E) : y' = 3y + 2avec avec y(0) = 3.</p><p>Dapreˋslexemplepreˊceˊdent,pourtoutreˊel.</p><p>D’après l’exemple précédent, pour tout réel x:<br> :<br>y(x) = C\text e^{3x} - \dfrac{2}{3},\quad C \in \mathbb{R}.</p><p>Enutilisantlaconditioninitiale.</p><p>En utilisant la condition initiale y(0) = 3:<br> :<br>y(0) = 3 \iff 3 = C\text e^0 - \dfrac{2}{3}<br><br>\iff 3 = C - \dfrac{2}{3}<br><br>\iff C = \dfrac{11}{3}.</p><p>Donc:</p><p>Donc : y(x) = \dfrac{11}{3}\text e^{3x} - \dfrac{2}{3}.</p><p><strong>Exercicedapplication2:</strong></p><p>Soitleˊquationdiffeˊrentielle</p><p><strong>Exercice d'application 2 :</strong></p><p>Soit l'équation différentielle 4y' - y = 6.Deˊterminerlasolutiondecetteeˊquationquiprendlavaleur4en0.</p><p><strong>Solution:</strong></p><p>Cetteeˊquationpeutseˊcriresouslaforme. Déterminer la solution de cette équation qui prend la valeur 4 en 0.</p><p><strong>Solution : </strong></p><p>Cette équation peut s'écrire sous la forme y' = \frac{1}{4}y + \frac{3}{2}.<br>Elleestdelaforme.<br>Elle est de la forme y' = ay + b.<br>Sessolutionssontdonclesfonctions:.<br>Ses solutions sont donc les fonctions : f : x \mapsto Ce^{ax} - \frac{b}{a}.<br>Soit,dansnotrecas:.<br>Soit, dans notre cas : f : x \mapsto Ce^{\frac{1}{4}x} - 6,ouˋ, où C \in \mathbb{R}.</p><p>Nouspouvonsmaintenantdeˊterminerlavaleurdelaconstante.</p><p>Nous pouvons maintenant déterminer la valeur de la constante Cgra^ceaˋlaconditioninitialeimposeˊe: grâce à la condition initiale imposée : f(0) = 4.<br>Onadonc:.<br>On a donc : C - 6 = 4,soit, soit C = 10.<br>Lafonction.<br>La fonction fchercheˊeestdoncdeˊfiniesur cherchée est donc définie sur \mathbb{R}par: par : f(x) = 10e^{\frac{1}{4}x} - 6$.