Équations de la forme y'=ay+f

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Dans ce cours le réel aa est supposé non nul.

Définition :
Soient aa un réel non nul et ff une fonction définie sur un intervalle II.
L’équation différentielle (E):y=ay+f(E) : y' = ay + f, qui peut aussi s’écrire yay=fy' - ay = f, est également appelée équation différentielle du premier ordre à coefficients constants avec second membre.

Exemple :
y=2y+xy' = 2y + x (I=RI = \mathbb{R}) est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient constant a=2a = 2 et, pour tout réel xx, f(x)=xf(x) = x.

Théorème :
Les solutions de l’équation différentielle (E):y=ay+f(E) : y' = ay + f (aR,fa \in \mathbb{R}^*, f définie sur II) sont obtenues en ajoutant une solution particulière yPy_P de (E)(E) aux solutions yHy_H de l’équation homogène associée (EH):y=ay(E_H) : y' = ay.

Exemple :
On considère l’équation différentielle (E):y=2y+x(E) : y' = 2y + x.

1.1. Vérifier que yP(x)=x214y_P(x) = -\dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{4} est solution de (E)(E) :
On a : yP(x)=12y_P'(x) = -\dfrac{1}{2}.

En remplaçant dans (E)(E), pour tout xx : yP(x)=2yP(x)+xy_P'(x) = 2y_P(x) + x
12=2(x214)+x-\dfrac{1}{2} = 2\left(-\dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{4}\right) + x
12=x12+x-\dfrac{1}{2} = -x - \dfrac{1}{2} + x.

L’égalité est vérifiée. Donc yP(x)y_P(x) est une solution particulière de (E)(E).

2.2. En déduire toutes les solutions de (E)(E) :
L’équation homogène associée (EH):y=2y(E_H) : y' = 2y a pour solutions :
yH(x)=Ce2x,CRy_H(x) = C\text e^{2x},\quad C \in \mathbb{R}.

Les solutions de (E)(E) sont de la forme : y(x)=yH(x)+yP(x)y(x) = y_H(x) + y_P(x).

Donc, pour tout réel xx : y(x)=Ce2xx214y(x) = C\text e^{2x} - \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{4}.

Remarque :
L’équation différentielle y=ay+fy' = ay + f (aR,fa \in \mathbb{R}^*, f définie sur II) admet une unique solution vérifiant la condition initiale y(x0)=y0y(x_0) = y_0, où x0x_0 et y0y_0 sont des réels.

On retiendra la méthode :

Pour résoudre l'équation avec second membre (E)(E), on demande de :
a)a) Résoudre l'équation sans second membre (E)(E') (le second membre est nul).
b)b) Montrer qu'une fonction gg est solution de (E)(E).
c)c) Montrer que ff est solution de (E)(E) si et seulement si (fg)(f - g) est solution de (E)(E').
d)d) En déduire les solutions de (E)(E).

Exemple d'application :

Résolution de y+2y=ex+3y' + 2y = e^x + 3 (E)(E) :

a)a) Résoudre y+2y=0y' + 2y = 0 (E)(E').
b)b) Déterminer aa et bb de façon à ce que gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=aex+bg(x) = ae^x + b soit solution de (E)(E).
c)c) Montrer que ff est solution de (E)(E) si et seulement si (fg)(f - g) est solution de (E)(E').
d)d) En déduire les solutions S\mathscr{S} de (E)(E).

Solution :

a)a) On applique la propriété du cours, on trouve que les solutions de (E)(E') sont les fonctions fk(x)=ke2xf_k(x) = ke^{-2x}.

b) Le principe de ce genre de question est de remplacer yy par gg et d'identifier alors les constantes.
gg est dérivable sur R\mathbb{R} et g(x)=aexg'(x) = ae^x.
On en déduit que f(x)+2f(x)=aex+2(aex+b)=3aex+2bf'(x) + 2f(x) = ae^x + 2(ae^x + b) = 3ae^x + 2b.
ff sera donc solution de (E)(E) si 3aex+2b=ex+33ae^x + 2b = e^x + 3, c'est-à-dire si aa et bb vérifient :
{3a=12b=3\left\lbrace\begin{matrix}3a=1\\2b=3\end{matrix}\right.

c'est-à-dire pour a=13a = \frac{1}{3} et b=32b = \frac{3}{2}.
On a donc : g(x)=13ex+32g(x) = \frac{1}{3}e^x + \frac{3}{2}.

c) fgf - g est solution de (E)(E')
(f(x)g(x))+2(f(x)g(x))=0\Longleftrightarrow \left(f(x) - g(x)\right)' + 2\left(f(x) - g(x)\right) = 0
f(x)+2f(x)g(x)2g(x)=0\Longleftrightarrow f'(x) + 2f(x) - g'(x) - 2g(x) = 0
f(x)+2f(x)=g(x)+2g(x)\Longleftrightarrow f'(x) + 2f(x) = g'(x) + 2g(x)
f(x)+2f(x)=ex+3\Longleftrightarrow f'(x) + 2f(x) = e^x + 3
(On a g(x)+2g(x)=ex+3g'(x) + 2g(x) = e^x + 3 car gg est solution de l'équation avec second membre)
f solution de (E)\Longleftrightarrow f \text{ solution de } (E)

d) ff solution de (E)(E)
(fg) solution de (E)\Longleftrightarrow (f - g) \text{ solution de } (E')
fg=fk d’apreˋa)\Longleftrightarrow f - g = f_k \text{ d'après } a)

f(x)=fk(x)+g(x)=ke2x+13ex+32\Longleftrightarrow f(x) = f_k(x) + g(x) = ke^{-2x} + \frac{1}{3}e^x + \frac{3}{2}