Équation réduite d'une droite

I. Équation réduite d’une droite

Une droite dans un repère du plan peut souvent être représentée par une équation réduite de la forme : $y = mx + p$

• $m$ est le coefficient directeur de la droite (ou pente) ;

• $p$ est l’ordonnée à l’origine (là où la droite coupe l’axe des ordonnées).

II. Tracer une droite à partir de son équation réduite

Méthode

Pour tracer la droite d'équation $y = mx + p$ :

1. On repère le point $(0; p)$ sur l’axe des ordonnées.

2. À partir de ce point, on utilise le coefficient directeur $m$ :

   • Lorsque $x$ augmente de $1$, $y$ doit augmenter de $m$.

3. On trace la droite passant par ces deux points.

Exemple

Tracer la droite $y = 2x - 1$ :

• $p = -1$ : on place le point $(0; -1)$.

• $m = 2$ : on avance de $1$ et on monte de $2$, on obtient le point $(1; 1)$.

• On trace la droite passant par $(0\,; -1)$ et $(1\,; 1)$.

III. Lire graphiquement l’équation réduite d’une droite

Méthode

1. Choisir deux points alignés sur la droite et lire leurs coordonnées : $A(x_1; y_1)$ et $B(x_2; y_2)$.

2. Calculer le coefficient directeur : $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

3. Lire l'ordonnée à l’origine $p$ : c’est l’intersection avec l’axe des ordonnées (quand $x = 0$).

4. Écrire l’équation $y = mx + p$.

Exemple

Sur un graphique, la droite passe par les points $A(1; 3)$ et $B(3; 7)$.

• $m = \dfrac{7 - 3}{3 - 1} = \dfrac{4}{2} = 2$

• On observe qu’elle passe par $(0; 1)$ ⇒ $p = 1$

• Équation : $y = 2x + 1$

IV. Déterminer l’équation réduite d’une droite connaissant deux de ses points

Méthode

1. Calculer le coefficient directeur $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

2. Utiliser l’une des coordonnées pour déterminer $p$ :

   • On remplace $x$ et $y$ dans l’équation $y = mx + p$ et on résout pour $p$.

Exemple

Déterminer l’équation de la droite passant par $A(2; 5)$ et $B(4; 9)$.

• $m = \dfrac{9 - 5}{4 - 2} = \dfrac{4}{2} = 2$

• On remplace dans $y = mx + p$ avec le point $A(2; 5)$ :

  • $5 = 2 \times 2 + p \Rightarrow 5 = 4 + p$

    $\phantom{5 = 2 \times 2 + p }\Rightarrow p = 1$

• Équation de la droite : $y = 2x + 1$

V. Résumé des méthodes

VI. Application

Exercice
Donner l’équation réduite de la droite passant par les points $A(-1; 4)$ et $B(2; -2)$.

Correction
$m = \dfrac{-2 - 4}{2 - (-1)} = \dfrac{-6}{3} = -2$
On remplace dans $y = mx + p$ avec $A$ :
$4 = -2 \times (-1) + p \Rightarrow 4 = 2 + p \Rightarrow p = 2$
Équation : $y = -2x + 2$