Des résolutions d'équations trigonométriques expliquées pas à pas

Remarque importante : pour ce type d'équations, il ne faut pas oublier l'ensemble dans lequel les solutions sont demandées.

I. Équation cosinus dans $\mathbb{R}$

$\cos U = \cos V \text{ équivaut à dire } U=V+k2\pi \text{ ou } U=-V+k,'2\pi \text{ avec } k \text{ et } k,' \text{ dans } \mathbb{Z}$

Afin de mémoriser ce résultat, il est judicieux de comprendre et de visualiser sur la figure ce que signifie cette égalité de cosinus.

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation d'inconnue $x$ , $\quad \cos(2x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Étape 1 : utiliser le cercle trigonométrique et/ou le tableau de valeurs remarquables afin de retrouver une valeur dont le cosinus vaut $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Le cosinus se lit sur l'axe des abscisses, on peut dire que $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est le cosinus de $\dfrac{\pi}{6}$ par exemple.
Exemples de résolution d'équations trigonométriques : image 7

Étape 2 : Utiliser ce résultat pour écrire l'équation proposée sous la forme " $\cos U=\cos V$ "

L'équation proposée revient donc à écrire : $x\in \textbf{R}$ , $\cos(2x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$
On applique alors la propriété rappelée ci-dessus :

$\cos(2x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\Longleftrightarrow 2x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi \text{ ou } 2x = -\dfrac{\pi}{6}+k'2\pi \text{ avec } k \text{ et } k' \text{ dans } \textbf{Z}$

Étape 3 : terminer les calculs si besoin
Je divise par 2 chaque membre de chaque égalité, j'obtiens :

$x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi \text{ ou } x = -\dfrac{\pi}{12}+k'\pi \text{ avec } k \text{ et } k' \text{ dans } \textbf{Z}$

Étape 4 : je conclus
L'énoncé demandait les solutions dans $\mathbb{R}$, on obtient pour ensemble solution :

$S=\left\lbrace \dfrac{\pi}{12}+k\pi~,~-\dfrac{\pi}{12}+k'\pi~,~(k~,~k')\in \textbf{Z}^2\right\rbrace$

Exercice 2

Résoudre dans $]-\pi~;~\pi]$ l'équation d'inconnue $x$ , $\quad \cos(2x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Toute la démarche est la même, seul l'ensemble solution va être modifié.

On commence par résoudre l'équation proposée dans $\mathbb{R}$ comme précédemment, on trouve donc les mêmes valeurs de $x$ réelles solutions de l'équation.

Étapes 1-2-3 réunies :
$x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi \text{ ou } x = -\dfrac{\pi}{12}+k'\pi \text{ avec } k \text{ et } k' \text{ dans } \textbf{Z}$

Étape 4
Mais il ne va falloir garder que les valeurs de $x$ dans l'intervalle imposé c'est à dire dans $]-\pi~;~\pi]$

Pour la première série de valeurs : $x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi$ avec $k$ dans $Z$

Explication par deux exemples : Prenons par exemple la valeur $k=-2$ et remplaçons : on obtient $\dfrac{\pi}{12}-2\pi$ ; cette valeur n'appartient pas à $]-\pi~;~\pi]$ ; il est donc évident que des valeurs de $k$ inférieures à $-2$ ne conviendront pas non plus.

Par contre, si je choisis $k=-1$ : on obtient $\dfrac{\pi}{12}-\pi$ ; cette valeur appartient à $]-\pi~;~\pi]$.
Il s'agit donc de trouver toutes les valeurs de $k$ telles que les solutions trouvées appartiennent bien à l'intervalle imposé, en appliquant cette démarche de manière systématique.

$\text{Pour }k=-1~,~\dfrac{\pi}{12}-\pi=\dfrac{-11\pi}{12} \text{ convient car appartient à } ]-\pi~;~\pi]~\checkmark$

$\text{Pour }k=0~,~\dfrac{\pi}{12} \text{ convient car appartient à } ]-\pi~;~\pi]~\checkmark$

$\text{Pour }k=1~,~\dfrac{\pi}{12}+\pi=\dfrac{13\pi}{12} \text{ ne convient pas car n'appartient pas à } ]-\pi~;~\pi]$

Il est inutile de poursuivre pour la première série de valeur (car si pour $k=1$, la valeur trouvée n'appartient plus à l'intervalle, il en sera de même a fortiori pour des valeurs supérieures de $k$ )

Faisons de même pour la deuxième série de valeurs

$x = -\dfrac{\pi}{12}+k'\pi$ avec $k'$ dans $Z$

$\text{Pour }k'=-1~,~-\dfrac{\pi}{12}-\pi \text{ n'appartient pas à } ]-\pi~;~\pi]$

$\text{Pour }k'=0~,~ -\dfrac{\pi}{12} \text{ convient car appartient à } ]-\pi~;~\pi]~\checkmark$

$\text{Pour }k'=1~,~-\dfrac{\pi}{12}+\pi=\dfrac{11\pi}{12} \text{ convient car appartient à } ]-\pi~;~\pi]~\checkmark$

$\text{Pour }k'=2~,~-\dfrac{\pi}{12}+2\pi \text{ ne convient pas car n'appartient pas à } ]-\pi~;~\pi]$

L'ensemble solution est donc :

$S=\left\lbrace -\dfrac{11\pi}{12}~;~-\dfrac{\pi}{12}~;~\dfrac{\pi}{12}~;~\dfrac{11\pi}{12}\right\rbrace$

II. Équation sinus dans $\mathbb{R}$

$\sin U = \sin V \text{ équivaut à dire } U=V+k2\pi \textbf{ ou } U=\pi -V+k,'2\pi \text{ avec } k \text{ et } k,' \text{ dans } \mathbb{Z}$

Afin de mémoriser ce résultat, il est judicieux de comprendre et de visualiser sur la figure ce que signifie cette égalité de sinus.

Exercice 3

Résoudre dans $[0~;~\pi[$ l'équation d'inconnue $x$ $\text{ telle que : }\sin(5x)=\cos(x)$

Étape 1 : à l'aide du cercle trigonométrique, je retrouve une formule des angles associés qui me permet de remplacer l'équation proposée par une équation équivalente mais présentant une égalité de sinus.

Sur le cercle trigonométrique, je retrouve que : $\cos(x)=\sin(\frac{\pi}{2}+x)$. Je l'utilise pour transformer le second membre de l'équation proposée.

Le problème est donc désormais :

Résoudre dans $[0~;~\pi[$ l'équation d'inconnue $x$ $\text{ telle que : }\sin(5x)=\sin(\frac{\pi}{2}+x)$

Étape 2 : je résous dans $\mathbb{R}$ (dans un premier temps) l'équation d'inconnue $x$ $\text{ telle que : }\sin(5x)=\sin(\frac{\pi}{2}+x)$ en utilisant la propriété du cours rappelée ci-dessus.

$\sin(5x)=\sin(\frac{\pi}{2}+x)\Longleftrightarrow 5x=\frac{\pi}{2}+x+k2\pi \textbf{ ou }5x=\pi -\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+k'2\pi \text{ avec } k \text{ et } k' \text{ dans } \textbf {Z}$

$\sin(5x)=\sin(\frac{\pi}{2}+x)\Longleftrightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \textbf{ ou }5x=\frac{\pi}{2}-x+k'2\pi \text{ avec } k \text{ et } k' \text{ dans } \textbf {Z}$

$\sin(5x)=\sin(\frac{\pi}{2}+x)\Longleftrightarrow x=\frac{\pi}{8}+k\frac{2\pi}{4} \textbf{ ou }6x=\frac{\pi}{2}+k'2\pi \text{ avec } k \text{ et } k' \text{ dans } \textbf {Z}$

$\sin(5x)=\sin(\frac{\pi}{2}+x)\Longleftrightarrow x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2} \textbf{ ou }x=\frac{\pi}{12}+k'\frac{\pi}{3} \text{ avec } k \text{ et } k' \text{ dans } \textbf {Z}$

Étape 3 : je fais varier $k$ $\text{ et } k'$ dans $Z$ pour ne garder que les solutions dans $[0~;~\pi[$

Pour la première série de valeurs :

Si $k=-1$ on obtient $x=\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{\pi}{2}$ , ne convient pas car inférieure à $0$

Si $k=0$ on obtient $x=\dfrac{\pi}{8}~\checkmark$

Si $k=1$ on obtient $x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{8}~\checkmark$

Si $k=2$ on obtient $x=\dfrac{\pi}{8}+\pi$ , ne convient plus car supérieure à $\pi$

Pour la deuxième série de valeurs :

Si $k'=-1$ , on obtient $x=\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{\pi}{3}$ , ne convient pas car inférieure à $0$

Si $k'=0$ , on obtient $x=\dfrac{\pi}{12}~\checkmark$

Si $k'=1$ , on obtient $x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{12}~\checkmark$

Si $k'=2$ , on obtient $x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{3\pi}{4}~\checkmark$

Si $k'=3$ , on obtient $x=\dfrac{\pi}{12}+\pi$ , ne convient plus car supérieure à $\pi$

L'ensemble solution est donc :
$S=\left\lbrace \dfrac{\pi}{12}~;~\dfrac{\pi}{8}~;~\dfrac{5\pi}{12}~;~\dfrac{5\pi}{8}~;~\dfrac{3\pi}{4}\right\rbrace$

Remarque : le choix a été fait de transformer le cosinus en sinus et d'appliquer le résultat concernant l'égalité de sinus. Il était tout aussi légitime de transformer $\sin(5x)$ en cosinus à l'aide des formules d'angles associés, et d'utiliser le résultat concernant l'égalité de cosinus.

III. Équation tangente dans $\mathbb{R}$

$\tan U = \tan V \text{ équivaut à dire } U=V+k\pi \text{ avec } k \text{ dans } \mathbb{Z}$

Ce type d'équation se traite de la même manière que les précédentes, une fois le principe compris, et ne pose aucun problème particulier.