Repères et coordonnées dans l'espace

I. Repère de l'espace

Un repère dans l’espace est constitué :

$\circ\quad$ D’un point d’origine $O$.

$\circ\quad$D’une base de l’espace, composée de trois vecteurs $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, et $\overrightarrow{k}$.

Avec un repère, tout point $M$ de l’espace peut être décrit par un vecteur position $\overrightarrow{OM}$ décomposé sur la base ${\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}}$.

On utilise très régulièrement des repères un peu plus "classiques".

Définition :
Un repère de l’espace est formé d’un point $O$ et d’une base $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$.
Il est noté $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$.

Remarque :
Le point $O$ est appelé origine du repère.

Propriété :
Soit $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$ un repère.
Pour tout point $M$, il existe un unique triplet de réels $(x, y, z)$ tels que :
$\overrightarrow{OM} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} + z \overrightarrow{k}$.

On dit que $(x, y, z)$ sont les coordonnées du point $M$ dans le repère $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$. On note $M(x, y, z)$.

$\circ\quad$ $x$ est appelé l’abscisse de $M$,

$\circ\quad$ $y$ l’ordonnée de $M$,

$\circ\quad$ $z$ la côte de $M$.

Exemple :
$ABCDEFGH$ est un cube. Lire sur la figure les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ dans le repère $(A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$ :

$\circ\quad$$A(0, 0, 0)$ : Origine du repère.

$\circ\quad$$B(1, 0, 0)$ : Point obtenu en avançant d’une unité selon $\overrightarrow{AB}$.

$\circ\quad$$D(0, 1, 0)$ : Point obtenu en avançant d’une unité selon $\overrightarrow{AD}$.

$\circ\quad$$E(0, 0, 1)$ : Point obtenu en avançant d’une unité selon $\overrightarrow{AE}$.

$\circ\quad$$C(1, 1, 0)$ : Point obtenu en avançant d’une unité selon $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.

$\circ\quad$$F(1, 0, 1)$ : Point obtenu en avançant d’une unité selon $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AE}$.

$\circ\quad$$G(0, 1, 1)$ : Point obtenu en avançant d’une unité selon $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$.

$\circ\quad$$H(1, 1, 1)$ : Point obtenu en avançant d’une unité selon $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$.

Toutes les formules vues dans un repère du plan s’étendent à un repère de l’espace en effectuant les mêmes calculs sur les côtes.

Propriétés :

Dans le repère $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$, soient les points $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$ :
$\circ\quad$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}x_B - x_A \\y_B - y_A \\z_B - z_A\end{pmatrix}$

$\circ\quad$ Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées :
$I \left( \dfrac{x_A + x_B}{2}, \dfrac{y_A + y_B}{2}, \dfrac{z_A + z_B}{2} \right)$

Dans la base $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$, soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de coordonnées respectives :
$\overrightarrow{u} =\begin{pmatrix}x \\y \\z\end{pmatrix}, \quad\overrightarrow{v} =\begin{pmatrix}x' \\y' \\z'\end{pmatrix}$

$\circ\quad$ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} =\begin{pmatrix}x+x' \\y+y' \\z+z'\end{pmatrix}$

$\circ\quad$ Pour tout réel $k$, $k\overrightarrow{u} =\begin{pmatrix}kx \\ky \\kz\end{pmatrix}$

$\circ\quad$ $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} \iff x = x' , y = y' , z = z'$

$\circ\quad$ $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires $\iff$ leurs coordonnées sont proportionnelles, c'est-à-dire : $\exists k \in \mathbb{R}, \quad\overrightarrow{v} = k \overrightarrow{u} \iff x' = kx, y' = ky, z' = kz$